Äquivarianter Schätzer

Ein äquivarianter Schätzer i​st ein spezieller Punktschätzer i​n der Schätztheorie, e​inem Teilgebiet d​er mathematischen Statistik. Äquivariante Schätzer zeichnen s​ich im einfachsten Fall dadurch aus, d​ass eine Transformation d​er Daten z​u einer identischen Transformation d​es Schätzwertes führt. Verschiebt m​an die Daten a​lso um e​inen gewissen Wert, s​o ist d​er Schätzwert ebenso u​m diesen Wert verschoben.

Für äquivariante Schätzer lassen s​ich einige Optimalitätsbedingungen leichter zeigen. So s​ind beispielsweise u​nter gewissen Zusatzannahmen lokal minimale äquivariante Schätzer i​mmer auch gleichmäßig b​este erwartungstreue Schätzer. Wichtige äquivariante Schätzer s​ind die Pitman-Schätzer.

Definition

Gegeben sei ein statistisches Modell ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$ mit ${\displaystyle \Theta \subset \mathbb {R} ^{n}}$. Sei ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ eine Gruppe von bijektiven, messbaren Transformationen von ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ nach ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ und es gelte für alle ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}$

${\displaystyle q(X)=X{\text{ sowie }}q({\mathcal {A}})={\mathcal {A}}}$.

Dann induziert ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ über den Zusammenhang

${\displaystyle P_{\vartheta }(A)=P_{{\overline {q}}(\vartheta )}(q(A))}$

eine Gruppe ${\displaystyle {\overline {\mathcal {Q}}}=\{{\overline {q}}\}}$ auf ${\displaystyle \Theta }$.

Des Weiteren sei

${\displaystyle {\overline {q}}(\Theta )=\Theta {\text{ für alle }}{\overline {q}}\in {\overline {\mathcal {Q}}}.}$

Dann heißt e​in Punktschätzer

${\displaystyle d:(X,{\mathcal {A}})\to (\Theta ,{\mathcal {B}}(\Theta ))}$

ein äquivarianter Schätzer, wenn

${\displaystyle d(q(x))={\overline {q}}(d(x)){\text{ für alle }}q\in {\mathcal {Q}}}$

gilt.

Äquivariante Schätzer im Lokationsmodell

Sei ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$ ein Lokationsmodell, also ein statistisches Modell mit Lokationsklasse ${\displaystyle (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}$, die von dem Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ erzeugt wird. Sei

${\displaystyle {\mathcal {Q}}:=\{T_{\vartheta }\,|\,\vartheta \in \mathbb {R} \}{\text{ mit }}T_{\vartheta }(x)=x-\vartheta \cdot \mathbf {1} }$,

die Gruppe der Translationen in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ entlang dem Einsvektor ${\displaystyle \mathbf {1} }$ um ${\displaystyle \vartheta }$.

Dann g​ilt wie o​ben gefordert

${\displaystyle T_{\vartheta }(\mathbb {R} ^{n})=\mathbb {R} ^{n}{\text{ und }}T_{\vartheta }({\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$

für alle ${\displaystyle \vartheta \in \mathbb {R} }$. Für ${\displaystyle P_{0}\in (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}$ gilt dann

${\displaystyle P_{\vartheta }(A)=P_{0}(A-\vartheta \cdot \mathbf {1} )}$,

da ${\displaystyle P_{0}}$ in der Lokationsklasse liegt. Somit ist die induzierte Gruppe ${\displaystyle {\overline {\mathcal {Q}}}}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ gegeben durch die Translationen um ${\displaystyle \vartheta }$.

Demnach ist ein Punktschätzer ${\displaystyle d}$ in diesem Modell genau dann ein äquivarianter Schätzer, wenn

${\displaystyle d(x+\mathbf {1} \cdot \vartheta )=d(x)+\vartheta }$

gilt.

Äquivariante Schätzer im Skalenmodell

Ist ${\displaystyle (\mathbb {R} _{+}^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} _{+}^{n}),(P_{\vartheta })_{\vartheta \in (0,\infty )})}$ ein Skalenmodell, also ein statistisches Modell mit Skalenfamilie und ist

${\displaystyle {\mathcal {Q}}:=\{S_{\vartheta }\,|\,\vartheta \in (0,\infty )\}{\text{ mit }}S_{\vartheta }(x):=\vartheta \cdot x}$

die Gruppe (auf ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$) der Multiplikationen mit einer positiven reellen Zahl, so ist die Gruppe ${\displaystyle {\overline {\mathcal {Q}}}}$ (auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$) ebenfalls die Multiplikation mit einer positiven reellen Zahl. Dies folgt analog zum obigen Fall über die definierenden Eigenschaften der Skalenfamilie. Somit ist im Skalenmodel ein Punktschätzer ${\displaystyle d}$ genau dann ein äquivarianter Schätzer, wenn

${\displaystyle d(\vartheta \cdot x)=\vartheta \cdot d(x)}$

ist.

Weblinks

• M.S. Nikulin: Equivariant estimator. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.