Zurückschneiden durch Rangbetrachtung

Das Zurückschneiden d​urch Rangbetrachtung (oder Trunkierung d​urch Rangbetrachtung o​der Lokalisierung d​urch Rangbetrachtung)[1] i​st eine i​n der Mengenlehre verwendete u​nd von Tarski[2] u​nd Scott 1955 vorgeschlagene Methode, w​ie man d​as Studieren e​iner Klasse a​uf das Studieren i​hrer Teilmengen beschränken kann.[3]

Um dies zu erreichen, definiert man für eine Klasse ${\displaystyle K\subseteq {\textrm {V}}=\{\,x\;|\;\exists _{y}\,x\in y\,\}}$ die Teilklasse ${\displaystyle K_{\text{min}}\equiv \tau (K):=\{\,x\in K\;|\;\forall _{y\in K}\rho (x)\leq \rho (y)\,\}}$, wenn ${\displaystyle \rho$ :{\textrm {V}}\rightarrow {\textrm {On}}} die Rangfunktion ist.[4][5] Die Existenz der Rangfunktion wird entweder durch spezielles Axiom gesichert oder mit Hilfe des Fundierungs- und des Ersetzungaxioms bewiesen.[6] Mit

${\displaystyle \xi =\min _{x\in K}\rho (x)}$

ist ${\displaystyle \tau (K)}$ eine Menge, deren Rang höchstens ${\displaystyle \xi +1}$ beträgt.

Mittels Zurückschneiden d​urch Rangbetrachtung lassen s​ich folgende Sätze beweisen:[4]

• Für jede Relation ${\displaystyle R}$ existiert eine vorgängerkleine Teilrelation ${\displaystyle S}$ mit demselben Definitionsbereich.
• Für jede Relation ${\displaystyle R}$ existiert eine Teilrelation ${\displaystyle S}$ mit demselben Wertebereich, deren inverse Relation vorgängerklein ist.
• Wenn jede nicht leere Menge ein ${\displaystyle \prec }$-kleinstes Element hat, dann hat auch jede nicht leere Klasse ein ${\displaystyle \prec }$-kleinstes Element und für jede mengentheoretische Formel ${\displaystyle \Phi }$ gilt:

${\displaystyle (\forall _{x}\,(\forall _{y\prec x}\,\Phi (y)\Rightarrow \Phi (x)))\Rightarrow \forall _{z}\,\Phi (z)}$ (Verallgemeinerung des Induktionsprinzipes).

• Für jede Menge ${\displaystyle A}$ und endlich viele Relationen ${\displaystyle R_{1},...,R_{k}}$ existiert eine für jedes ${\displaystyle i\in \{1,...,k\}}$ fast ${\displaystyle R_{i}}$-abgeschlossene Menge ${\displaystyle B\supseteq A}$.
• Für jede Äquivalenzrelation ${\displaystyle \approx }$ existiert eine Funktion ${\displaystyle F}$, die

${\displaystyle \forall _{x}\,\forall _{y}\,(F(x)=F(y)\Leftrightarrow x\approx y)}$

erfüllt.

Weblinks

• Wolfram Pohlers: Mengenlehre (PDF), Universität Münster, Institut für mathematische Logik und Grundlagenforschung, Vorlesungsskript, SS 1994

Einzelnachweise

1. Auf engl.: Cutting Down Classes to Sets, auch bekannt als Scott's trick.
2. Tarski A., General principles of induction and resursion; The Notation of rank in axiomatic set theory and some of its applications, 1955, Bull. Amer. Math., 61, S. 442–443
3. Deiser O., Einführung in die Mengenlehre, Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, 2.6, 2.8
4. Levy A., Basic Set Theory, Springer, 1979, ISBN 3-540-08417-7, II.7
5. Gloede, Klaus: Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre. SS 2004. Universitär Heidelberg, Mathematisches Institut, S. 181. PDF, Bei DOCZZ, Bei Yumpu. Hier Seite 62
6. Zuckerman M., Sets and Transfinite Numbers, Macmillian Publishing Co., 1974, ISBN 0-02-432110-9, 6.1