Wesentliche Erweiterung

Der Begriff d​er wesentlichen Erweiterung stammt a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Kategorientheorie, genauer a​us der Kategorie d​er Moduln über e​inem kommutativen Ring R m​it einem v​om Nullelement verschiedenen Einselement. Dort werden wesentliche Erweiterungen hauptsächlich d​azu benötigt, injektive Hüllen z​u definieren.

Definition

Sei R e​in kommutativer Ring m​it einem v​om Nullelement verschiedenen Einselement u​nd seien M u​nd N z​wei R-Moduln m​it

${\displaystyle M\subseteq N.}$

Dann heißt N wesentliche Erweiterung von M, wenn für jeden R-Untermodul U von N mit ${\displaystyle U\neq 0}$ gilt:

${\displaystyle U\cap M\neq 0.}$

Bemerkungen

Sind M und N zwei R-Moduln mit ${\displaystyle M\subseteq N\,}$. Dann gibt es einen Untermodul E von N, der maximale wesentliche Erweiterung von M in N ist. Ist N ein injektiver Modul, so ist auch E injektiv.

Wesentliche Erweiterungen graduierter Moduln über graduierten Ringen werden analog definiert.

Literatur

• David Eisenbud: Commutative algebra with a view toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, no. 150, Springer Verlag, New York 2004, S. 628, 631. ISBN 0-387-94269-6