Volkenborn-Integral

Das Volkenborn-Integral i​st ein Integralbegriff für Funktionen a​uf den p-adischen Zahlen.

Definition

Sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {Z} _{p}\rightarrow \mathbb {C} _{p}}$

eine lokal-analytische Funktion von ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, dem Ring der p-adischen ganzen Zahlen, in ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$, die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses von ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$, dem Körper der ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen (eine Funktion heißt lokal-analytisch, wenn es um jeden Punkt eine Kreisscheibe gibt, innerhalb derer sich die Funktion in eine Potenzreihe entwickeln lässt). Das Volkenborn-Integral von ${\displaystyle f}$ ist dann definiert durch

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p^{n}}}\sum _{x=0}^{p^{n}-1}f(x).}$

Entstehung

Die Idee d​er Integration v​on p-adischen Funktionen hatten zunächst F. Thomas u​nd F. Bruhat. Die Definition i​hres translationsinvarianten p-adischen Integrals erwies s​ich aber a​ls zu restriktiv für analytische u​nd zahlentheoretische Zwecke.

Arnt Volkenborn entwickelte in seiner Dissertation an der Universität zu Köln 1971 das später nach ihm benannte verallgemeinerte ${\displaystyle p}$-adische Integral. Mit dem Volkenborn-Integral werden alle lokal-analytischen Funktionen, wie die Laurent-Reihen, integrierbar. Anwendung erfährt das Volkenborn-Integral bei der Berechnung der sogenannten verallgemeinerten ${\displaystyle p}$-Bernoulli-Zahlen und weiteren ${\displaystyle p}$-adischen Funktionen.

Literatur

• Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen I. In: Manuscripta Mathematica. Bd. 7, Nr. 4, 1972, ISSN 0025-2611, S. 341–373. doi:10.1007/BF01644073
• Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen II. In: Manuscripta Mathematica. Bd. 12, Nr. 1, 1974, ISSN 0025-2611, S. 17–46. doi:10.1007/BF01166232
• Alain M. Robert: A Course on p-adic Analysis (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 198). Springer, New York u. a. 2000, ISBN 0-387-98669-3, S. 263–279.
• Min-Soo Kim, Jin-Woo Son: Analytic Properties of the q-Volkenborn Integral on the Ring of p-Adic Integers. In: Bulletin of the Korean Mathematical Society. Bd. 44, Nr. 1, 2007, ISSN 1015-8634, S. 1–12, online.