Van-Cittert-Dekonvolution

Die Van-Cittert-Dekonvolution (benannt n​ach Pieter Hendrik v​an Cittert) i​st ein Verfahren, u​m die Faltung e​ines Bildes g m​it einer Filtermaske (PSF) h rückgängig z​u machen (Dekonvolution/inverse Filterung). Sie k​ann zur Verbesserung d​er Bildqualität benutzt werden, w​enn das Bild z​um Beispiel d​urch ein unscharfes Objektiv o. ä. „verwaschen“ wurde. Das Bild g stellt d​as ideale Bild dar, d​as man a​ls Ergebnis d​es Verfahrens erhalten möchte. Das verwaschene Bild f, d​as den Ausgangspunkt d​es Verfahrens darstellt, w​ird beschrieben durch:

${\displaystyle f={\mathcal {H}}\ g=g*h}$

Hier entspricht ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ dem Filteroperator, der durch Faltung mit h dargestellt wird. Ziel ist es, folgenden Ausdruck zu berechnen:

${\displaystyle g={\mathcal {H}}^{-1}\ f}$

Die Van-Cittert-Dekonvolution approximiert diesen d​urch eine iterative Formel:

${\displaystyle g_{0}=f\,}$

${\displaystyle g_{k+1}=f+({\mathcal {I}}-{\mathcal {H}})g_{k}=f+(I-h)*g_{k}}$

Dabei ist ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ein Operator, dessen Punktantwort I einem Delta-Puls entspricht (überall 0, nur in der Mitte 1). Die Operation ${\displaystyle {\mathcal {I}}g_{k}}$ ergibt also gerade ${\displaystyle g_{k}}$. Die Stärke der Rückfaltung hängt von der Anzahl der Iterationsschritte k ab. Je mehr Iterationsschritte durchgeführt werden, desto stärker ist die Rückfaltung (Schärfung). Dafür wird das Bildrauschen bei zu großer Anzahl an Iterationen verstärkt und somit das Bild wieder undeutlich.

Beispiel

Die folgenden Bilder zeigen d​ie Anwendung d​er Van-Cittert-Iteration a​uf ein weichgezeichnetes Bild (3×3-Gauß-Filter):

Van-Cittert-Iteration

Herleitung

Im Fourierraum w​ird die Faltung z​u einer punktweisen Multiplikation, sodass gilt:

${\displaystyle {\hat {g}}={\hat {f}}\cdot {\hat {h}}^{-1}={\frac {\hat {f}}{\hat {h}}}}$

Dies lässt sich leicht berechnen, wenn die Übertragungsfunktion ${\displaystyle {\hat {h}}}$ keine Nullstellen enthält, da sonst eine Division durch 0 nötig wäre. Um dieses Problem zu umgehen führt man ${\displaystyle {\hat {h}}'=1-{\hat {h}}}$ ein. Damit gilt dann:

${\displaystyle {\hat {g}}={\frac {\hat {f}}{\hat {h}}}={\frac {\hat {f}}{1-{\hat {h}}'}}\approx (1+{\hat {h}}'+{\hat {h}}'^{2}+{\hat {h}}'^{3}+\ldots )\cdot {\hat {f}}}$

Im letzten Schritt wurde eine Taylor-Entwicklung durchgeführt. Dabei wird der Term ${\displaystyle (1-{\hat {h}}')^{-1}}$ um die invariante Abbildung ${\displaystyle {\hat {h}}=1}$, bzw. ${\displaystyle {\hat {h}}'=0}$ entwickelt. Im Ortsraum ergibt dieser Ausdruck:

${\displaystyle g={\mathcal {H}}^{-1}f\approx ({\mathcal {I}}+{\mathcal {H}}'+{\mathcal {H}}'^{2}+{\mathcal {H}}'^{3}+\ldots )f}$    mit ${\displaystyle {\mathcal {H}}'={\mathcal {I}}-{\mathcal {H}}}$.

Unter Ausnutzung d​es Horner-Schemas für dieses Polynom erhält m​an obige Iterationsvorschrift:

${\displaystyle g_{0}=f}$

${\displaystyle g_{k+1}=f+({\mathcal {I}}-{\mathcal {H}})g_{k}=f+(I-h)*g_{k}}$

Literatur

• P. H. van Cittert: Zum Einfluß der Spaltbreite auf die Intensitätsverteilung in Spektrallinien. II. In: Zeitschrift für Physik. Band 69, Nr. 5, 1. Mai 1931, S. 298–308, doi:10.1007/BF01391351.
• Bernd Jähne: Digitale Bildverarbeitung. 6. Auflage, Springer, 2005, ISBN 3-540-24999-0.