Ungleichungen von Weierstraß

Die Ungleichungen v​on Weierstraß (englisch Weierstrass’ inequalities) gehören z​u den elementaren Ungleichungen d​es mathematischen Gebiets d​er Analysis. Sie g​ehen auf d​en deutschen Mathematiker Karl Weierstraß zurück.[1]

Die weierstraßschen Ungleichungen führten z​u einer Anzahl weiterführender Untersuchungen, welche verbesserte u​nd allgemeinere Ungleichungen ähnlichen Typs lieferten.[2]

Formulierung

Die Ungleichungen lauten folgendermaßen:[3]

Gegeben seien zu einer natürlichen Zahl ${\displaystyle N>0}$ im offenen reellen Intervall ${\displaystyle (0,1)}$ die ${\displaystyle N}$ reellen Zahlen ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{N}\in (0,1)}$.

Dann gelten:

(W1a) ${\displaystyle \quad \prod _{k=1}^{N}{(1-a_{k})}>1-\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}}$

(W1b) ${\displaystyle \quad \prod _{k=1}^{N}{(1-a_{k})}<{\frac {1}{1+\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}}}}$

(W2a) ${\displaystyle \quad \prod _{k=1}^{N}{(1+a_{k})}>1+\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}}$

(W2b) ${\displaystyle \quad \prod _{k=1}^{N}{(1+a_{k})}<{\frac {1}{1-\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}}}}$  , sofern ${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{a_{k}}<1}$

Anmerkung

Die obigen Ungleichungen (W1a) u​nd (W2a) beinhalten e​ine Verallgemeinerung d​er bernoullischen Ungleichung.[4]

Literatur

• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686).

Einzelnachweise und Fußnoten

1. D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 210, S. 396
2. Vgl. Liste ([http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publications.html?pg4=TI&s4=Weierstrass&co4=AND&pg5=TI&s5=inequalities&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&s7=&co7=AND&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&review_format=html&Submit=Suche (Seite nicht mehr abrufbar, Suche in Webarchiven)  Info: Der Link wurde automatisch als defekt markiert. Bitte prüfe den Link gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis. ]) im MathSciNet!
3. Mitrinović, op. cit., S. 210
4. Vgl. Mitrinović, op. cit., S. 35!