Ungleichung von Guha

Die Ungleichung v​on Guha (englisch Guha’s inequality) i​st eine v​on mehreren elementaren Ungleichungen i​m Umfeld d​er AGM-Ungleichung u​nd lässt s​ich als solche d​em mathematischen Gebiet d​er Analysis zurechnen. Sie g​eht auf e​ine wissenschaftliche Publikation v​on U. C. Guha a​us dem Jahre 1967 zurück.[1][2]

Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung lautet folgendermaßen:[1][2]

Gegeben seien reelle Zahlen ${\displaystyle a,p,q,x,y}$ und für diese gelte ${\displaystyle a\geq 0}$ sowie ${\displaystyle p\geq q>0}$ und ${\displaystyle x\geq y>0}$.

Dann ist:

${\displaystyle {\bigl (}px+y+a{\bigr )}\cdot {\bigl (}x+qy+a{\bigr )}\geq {\bigl (}(p+1)x+a{\bigr )}\cdot {\bigl (}(q+1)y+a{\bigr )}}$

Anmerkungen

• Die Bedeutung der Ungleichung liegt darin, dass sie, wie Guha 1967 zeigte, eine einfache und zugleich geschickte Herleitung der AGM-Ungleichung für beliebig (jedoch endlich) viele nichtnegative Zahlen ermöglicht.[3][2]
• Der Beweis der Ungleichung lässt sich rein algebraisch führen. Mittels algebraischer Umformungen kann man ihre Gleichwertigkeit mit der Ungleichung ${\displaystyle \left(px-qy\right)\cdot \left(x-y\right)\geq 0}$ nachweisen, welche aufgrund der getroffenen Voraussetzungen offenbar gültig ist. Sie lässt sich ebenfalls auf geometrisch-anschauliche Weise zeigen.[1]
• Es gilt das Gleichheitszeichen genau im Falle ${\displaystyle x=y}$.[1]

Literatur

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More : Visualizing Basic Inequalities (= The Dolciani Mathematical Expositions. Band 36). The Mathematical Association of America, Washington, DC 2009, ISBN 978-0-88385-342-9 (MR2498836).
• P. S. Bullen, D. S. Mitrinović, Petar M. Vasić (Hrsg.): Means and Their Inequalities (= Mathematics and Its Applications (East European Series). Band 31.). D. Reidel Publishing Company, Dordrecht 1988, ISBN 90-277-2629-9 (MR0947142 – Translated and revised from the Serbo-Croatian).
• U. C. Guha: Arithmetic mean – geometric mean inequality. In: Mathematical Gazette. Band 51, 1967, S. 145–146.

Einzelnachweise

1. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More : Visualizing Basic Inequalities. 2009, S. 29
2. P. S. Bullen, D. S. Mitrinović, Petar M. Vasić: Means and Their Inequalities. 1988, S. 77
3. Alsina / Nelsen, op. cit., S. 29–30