UCED-Raum

In j​eder Richtung gleichmäßig konvexe Räume s​ind eine Klasse bestimmter normierter Räume, d​ie im mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis untersucht werden. Nach d​er englischen Bezeichnung "uniformly convex i​n each direction" n​ennt man solche Räume a​uch UCED-Räume o​der einfach UCED.

Definitionen

Ein normierter Raum ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ist bekanntlich gleichmäßig konvex, wenn für je zwei Folgen ${\displaystyle (x_{n})_{n},(y_{n})_{n}}$ aus ${\displaystyle \|x_{n}\|\rightarrow 1}$ , ${\displaystyle \|y_{n}\|\rightarrow 1}$ und ${\displaystyle \|x_{n}+y_{n}\|\rightarrow 2}$ stets ${\displaystyle \|x_{n}-y_{n}\|\rightarrow 0}$ folgt.

Man erhält eine Abschwächung dieser Eigenschaft, wenn man die Konvergenz nur dann fordert, wenn die Differenzen ${\displaystyle x_{n}-y_{n}}$ alle in dieselbe Richtung zeigen, genauer:

Ein normierter Raum ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ heißt gleichmäßig konvex in Richtung ${\displaystyle z\in X}$ , wenn für je zwei Folgen ${\displaystyle (x_{n})_{n},(y_{n})_{n}}$ aus ${\displaystyle \|x_{n}\|\rightarrow 1}$ , ${\displaystyle \|y_{n}\|\rightarrow 1}$ , ${\displaystyle \|x_{n}+y_{n}\|\rightarrow 2}$ und ${\displaystyle \{x_{n}-y_{n};\,n\in \mathbb {N} \}\subset \mathbb {R} z}$ stets ${\displaystyle \|x_{n}-y_{n}\|\rightarrow 0}$ folgt.

Ein normierter Raum ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ heißt in jeder Richtung gleichmäßig konvex oder kurz UCED, wenn ${\displaystyle X}$ gleichmäßig konvex in jeder Richtung ${\displaystyle z\in X}$ ist.

Historische Bemerkung

Der Begriff des UCED-Raums ist bei der Untersuchung sogenannter Tschebyschow-Zentren eingeführt worden. Dabei handelt es sich um folgende Konstruktion. Für einen normierten Raum ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ und zwei beschränkte Mengen ${\displaystyle H,S\subset X}$ definiert man zunächst für ${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle r_{s}(H):=\sup\{\|s-x\|;\,x\in H\}}$ ,

das ist der maximale Abstand eines Elementes aus ${\displaystyle H}$ zu ${\displaystyle s}$ . Der kleinste dieser Abstände ist

${\displaystyle r(H,S):=\inf\{r_{s}(H);\,s\in S\}}$ .

Diejenigen ${\displaystyle s\in S}$ , für die dieses Infimum tatsächlich angenommen wird, ist das sogenannte Tschebyschow-Zentrum von ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle S}$ :

${\displaystyle {\mathcal {C}}(H,S):=\{s\in S;\,r_{s}(H)=r(H,S)\}}$ .

A. L. Garkavi interessierte sich für normierte Räume, in denen das Tschebyschow-Zentrum einer beschränkten Menge in einer konvexen Menge höchstens einelementig ist und kam so zu der hier beschriebenen Raumklasse.[1] In der Tat kann man zeigen, dass ${\displaystyle {\mathcal {C}}(H,S)}$ für jede beschränkte Menge ${\displaystyle H}$ und jede konvexe Menge ${\displaystyle S}$ in einem UCED-Raum höchstens einelementig ist.

Charakterisierungen

Für einen normierten Raum ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ sind folgende Aussagen äquivalent:[2]

• ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ in jeder Richtung gleichmäßig konvex
• Für jedes ${\displaystyle z\in X}$ und je zwei Folgen ${\displaystyle (x_{n})_{n},(y_{n})_{n}}$ folgt aus ${\displaystyle \|x_{n}\|=\|y_{n}\|=1}$ , ${\displaystyle \|x_{n}+y_{n}\|\rightarrow 2}$ und ${\displaystyle \{x_{n}-y_{n};\,n\in \mathbb {N} \}\subset \mathbb {R} z}$ stets ${\displaystyle \|x_{n}-y_{n}\|\rightarrow 0}$ .
• Für jedes ${\displaystyle z\in X}$ und je zwei Folgen ${\displaystyle (x_{n})_{n},(y_{n})_{n}}$ mit ${\displaystyle \|x_{n}\|\leq 1}$ , ${\displaystyle \|y_{n}\|\leq 1}$ , ${\displaystyle \|x_{n}+y_{n}\|\rightarrow 2}$ und ${\displaystyle x_{n}-y_{n}\rightarrow z}$ folgt ${\displaystyle z=0}$ .
• Für alle ${\displaystyle p\in [2,\infty )}$ gilt: Ist ${\displaystyle z\in X}$ und ist ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ eine Folge in ${\displaystyle X}$ mit

${\displaystyle 2^{p-1}(\|x_{n}+z\|^{p}+\|x_{n}\|^{p})-\|2x_{n}+z\|^{p}\rightarrow 0}$ ,

so folgt ${\displaystyle z=0}$ .

• Es gibt ein ${\displaystyle p\in [2,\infty )}$ , so dass folgendes gilt: Ist ${\displaystyle z\in X}$ und ist ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ eine Folge in ${\displaystyle X}$ mit

${\displaystyle 2^{p-1}(\|x_{n}+z\|^{p}+\|x_{n}\|^{p})-\|2x_{n}+z\|^{p}\rightarrow 0}$ ,

so folgt ${\displaystyle z=0}$ .

• Für alle ${\displaystyle z\in X\setminus \{0\}}$ gibt es ein ${\displaystyle \delta >0}$ , so dass folgendes gilt: Aus ${\displaystyle x\in X}$ , ${\displaystyle \|x\|\leq 1}$ und ${\displaystyle \|x+z\|\leq 1}$ folgt ${\displaystyle \textstyle \|x+{\frac {1}{2}}z\|<1-\delta }$ .

Beispiele

• Gleichmäßig konvexe Räume sind UCED, insbesondere also die Räume L^p([0,1]) und die Folgenräume ${\displaystyle \ell ^{p}}$ für ${\displaystyle 1<p<\infty }$ .
• Allgemeiner sind sogar alle schwach gleichmäßig konvexen Räume UCED.
• Die Umkehrung gilt nicht. Definiere dazu auf dem Hilbertraum ${\displaystyle (\ell ^{2},\|\cdot \|_{2})}$ der quadrat-summierbaren Folgen

${\displaystyle \|(\xi _{n})_{n}\|_{u}:=\left((|\xi _{1}|+\|(0,\xi _{2},\xi _{3},\ldots )\|_{2})^{2}+\|(a_{2}\xi _{2},a_{3}\xi _{3},\ldots )\|_{2}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}$

wobei ${\displaystyle (a_{n})_{n}}$ eine Nullfolge positiver reeller Zahlen sei. Dann ist ${\displaystyle (\ell ^{2},\|\cdot \|_{u})}$ UCED aber nicht schwach gleichmäßig konvex, ja nicht einmal lokal schwach gleichmäßig konvex.[3]

• L¹-Räume, L^∞-Räume und der Funktionenraum ${\displaystyle C([0,1])}$ der stetigen Funktionen auf ${\displaystyle [0,1]}$ sind nicht UCED.

Eigenschaften

• UCED-Räume sind strikt konvex, die Umkehrung gilt nicht. Versieht man etwa ${\displaystyle C([0,1])}$ mit der Norm

${\displaystyle \|f\|_{s}:=\sup _{t\in [0,1]}|f(t)|+{\sqrt {\int _{0}^{1}|f(t)|^{2}\mathrm {d} t}}}$ ,

so ist ${\displaystyle (C([0,1]),\|\cdot \|_{s})}$ ein strikt konvexer Banachraum, der nicht UCED ist.[4]

• Unterräume von UCED-Räumen sind wieder UCED.

• In UCED-Räumen ist das Tschebyschow-Zentrum einer beschränkten Menge in einer konvexen Menge höchstens einelementig, siehe dazu obige historische Bemerkung.

• UCED-Räume haben normale Struktur, das heißt jede beschränkte, konvexe Menge hat normale Struktur.

Renormierbarkeit

Die UCED-Eigenschaft k​ann durch Übergang z​u einer äquivalenten Norm verlorengehen. Daher stellt s​ich umgekehrt d​ie Frage, welche normierten Räume isomorph z​u einem UCED-Raum sind, d​as heißt für welche normierten Räume e​s äquivalente Normen gibt, d​ie ihn z​u einem UCED-Raum machen, kurz: welche Räume UCED-renormierbar sind.

In diesem Zusammenhang g​ilt zunächst folgender a​uf V. Zizler zurückgehende[5]

• Ein normierter Raum ist genau dann UCED-renormierbar, wenn es eine injektive, stetige, lineare Abbildung dieses Raums in einen UCED-Raum gibt.

Daraus ergibt s​ich der folgende Satz, d​er Beispiele für UCED-renormierbare Räume liefert:[6]

X i​st in d​en folgenden Fällen isomorph z​u einem UCED-Raum:

• Der Dualraum ${\displaystyle X^{*}}$ enthält eine abzählbare über ${\displaystyle X}$ totale Menge, zum Beispiel wenn ${\displaystyle X}$ oder ${\displaystyle X^{*}}$ ein separabler Raum ist.
• ${\displaystyle X}$ ist isomorph zu einem ${\displaystyle \ell _{1}(\Gamma )}$ für eine beliebige Menge ${\displaystyle \Gamma }$ .
• ${\displaystyle X}$ ist isomorph zu einem ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ -Raum für ein ${\displaystyle \sigma }$ -endliches Maß ${\displaystyle \mu }$ .

Nicht alle normierten Räume sind UCED-renormierbar: ${\displaystyle C_{0}(\Gamma )}$ ist für überabzählbares ${\displaystyle \Gamma }$ mit diskreter Topologie nicht UCED-renormierbar.[7]

Siehe auch

• Konvexitätsbedingung

Einzelnachweise

1. A. L. Garkavi: On the Čebyšev center of a set in a normed space, Investigations of Contemporary Problems in the Constructive Theory of Functions, Moskau (1961), Seiten 328–331
2. Vasile I. Istratescu: Strict Convexity and Complex Strict Convexity, Theory and Applications, Taylor & Francis Inc. (1983), ISBN 0-8247-1796-1, Satz 2.6.33. (Die dortige Formel zu (4) bzw. (5) ist fehlerhaft, es wird aber die korrekte Formel bewiesen. Die dortige Einschränkung auf Banachräume ist unnötig.)
3. Vasile I. Istratescu: Strict Convexity and Complex Strict Convexity, Theory and Applications, Taylor & Francis Inc. (1983), ISBN 0-8247-1796-1, Beispiel 2.6.43.
4. A. L. Garkavi: The best possible net and the best possible cross-section of a set in a normed space, Isvestia Adad. Naku SSSR (1962), Band 26, Seiten 87–106
5. V. Zizler: On some rotundity and smoothness properties of Banach spaces, Dissert. Math. Roszprawy (1971), Band 87, Seiten 5–33
6. M. M. Day, R. C. James, S. Swaminathan: Normed Linear Spaces that are Uniformly Convex in Every Direction, Canadian J. Math, (1971), Band 23, Nr. 6, Seiten 1051–1059, Theorem 3
7. M. M. Day, R. C. James, S. Swaminathan: Normed Linear Spaces that are Uniformly Convex in Every Direction, Canadian J. Math, (1971), Band 23, Nr. 6, Seiten 1051–1059, Theorem 2