T-Statistik

Die t-Statistik misst die Abweichung des geschätzten Wertes eines Parameters ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$ von seinem hypothetisch angenommenen Wert ${\displaystyle \beta _{0}}$ (in Einheiten des Standardfehlers des Schätzers mit unbekannter Standardabweichung ${\displaystyle \sigma }$ der Grundgesamtheit):

${\displaystyle t={\frac {{\hat {\beta }}-\beta _{0}}{SE({\hat {\beta }})}}}$.

Ist d​ie Standardabweichung bekannt, s​o kann stattdessen d​ie z-Statistik berechnet werden.

Die t-Statistik w​ird im t-Test, d​ie z-Statistik i​m z-Test verwendet.

Beispiel

Die t-Statistik für den Stichprobenmittelwert ${\displaystyle {\overline {X}}=\sum _{i=1}^{N}x_{i}}$ (für unabhängige Stichproben aus einer Verteilung mit Mittelwert ${\displaystyle \mu }$) ist:

${\displaystyle t={\frac {{\overline {X}}-\mu }{SE({\hat {\beta }})}}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{{\hat {\sigma }}/{\sqrt {N}}}}.}$

Beachte, dass der Schätzer ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ (die empirische Standardabweichung) in der Formel für den Standardfehler benutzt wurde, da die Standardabweichung der Grundgesamtheit im gegebenen Szenario unbekannt ist. Die t-Statistik folgt einer Student-t-Verteilung mit N-1 Freiheitsgraden. Für große Stichprobenumfänge nähert sich die Student-t-Verteilung einer Normalverteilung.