Sylvestermatrix

In d​er Algebra i​st die Sylvestermatrix z​u zwei Polynomen e​ine spezielle m​it den Koeffizienten d​er Polynome besetzte Matrix, d​eren Determinante d​ie Resultante d​er Polynome ergibt. Sie i​st nach d​em britischen Mathematiker James J. Sylvester benannt.

Definition

Sei ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring. Für zwei Polynome ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ aus dem Polynomring ${\displaystyle R[X]}$ mit

${\displaystyle f=\sum _{i=0}^{m}f_{i}X^{i}}$ und ${\displaystyle g=\sum _{i=0}^{n}g_{i}X^{i}}$

vom Grad ${\displaystyle m,n\geq 1}$ heißt die quadratische ${\displaystyle (m+n)}$ -Matrix

${\displaystyle \operatorname {Syl} (f,g)={\begin{pmatrix}f_{m}&&\cdots &&f_{0}&&&\\&f_{m}&&\cdots &&f_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&f_{m}&&\cdots &&f_{0}\\g_{n}&&\cdots &&g_{0}&&&\\&g_{n}&&\cdots &&g_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&g_{n}&&\cdots &&g_{0}\\\end{pmatrix}}}$

die Sylvestermatrix zu ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ . In der Darstellung sind nicht spezifizierte Koeffizienten als Null zu verstehen.

Eigenschaften

Für ${\displaystyle 0\leq i\leq j\leq m+n}$ sei ${\displaystyle M_{ji}}$ die Matrix, die aus der Sylvestermatrix durch Streichung der letzten ${\displaystyle j}$ Zeilen von ${\displaystyle f}$ -Koeffizienten, der letzten ${\displaystyle j}$ Zeilen von ${\displaystyle g}$ -Koeffizienten sowie der letzten ${\displaystyle 2j+1}$ Spalten mit Ausnahme der ${\displaystyle (m+n-i-j)}$ -ten hervorgeht. Das Polynom

${\displaystyle S_{j}(f,g)=\sum _{i=0}^{j}\left(\det M_{ji}\right)\,X^{i}}$

ist dann die ${\displaystyle j}$ -te Subresultante von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ ; ihr Leitkoeffizient

${\displaystyle \operatorname {psc} _{j}(f,g)=\det M_{jj}}$

ist der ${\displaystyle j}$ -te Hauptsubresultantenkoeffizient. Der ${\displaystyle 0}$ -te Hauptsubresultantenkoeffizient

${\displaystyle \operatorname {res} (f,g)=\det \operatorname {Syl} (f,g)}$

schließlich ist die Resultante von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ .

Bedeutung

Die Hauptsubresultantenkoeffizienten haben eine wichtige Bedeutung als „Gradmesser“ des größten gemeinsamen Teilers von Polynomen: Der Grad von ${\displaystyle \operatorname {ggT} (f,g)}$ für zwei Polynome ungleich 0 über einem kommutativen faktoriellen Integritätsring ist genau das kleinste ${\displaystyle k\geq 0}$ mit ${\displaystyle \operatorname {psc} _{k}(f,g)\neq 0}$ .