Subnormale

Die Subnormale ist ein Begriff aus der Analysis. Ist eine Kurve differenzierbar in einer Stelle ${\displaystyle x_{0}}$, so ist die Subnormale die Strecke zwischen der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ auf der Abszisse und der Nullstelle der Normalen. In der nebenstehenden Abbildung ist die betrachtete Kurve rot und die Normale in ${\displaystyle x_{0}}$ grün dargestellt. Die Projektion der Normalen auf die Abszisse heißt Subnormale (gelb).

Graphische Darstellung einer Subnormalen (gelbe Strecke)

Über d​ie Gleichung d​er Normalen

${\displaystyle n(x)={\frac {-1}{f'(x_{0})}}\cdot (x-x_{0})+f(x_{0})}$

gelangt man zur Nullstelle ${\displaystyle x_{s}=f(x_{0})\cdot f'(x_{0})+x_{0}}$ und somit zur Subnormalen ${\displaystyle |f(x_{0})\cdot f'(x_{0})|}$.

Der Betrag der Subnormalen der ${\displaystyle e}$-Funktion ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ ist für alle Normalen ${\displaystyle e^{2x}}$, da gilt:

${\displaystyle |f(x_{0})\cdot f'(x_{0})|=|e^{x_{0}}\cdot e^{x_{0}}|=e^{2x_{0}}}$.

Bei Parabeln, die zur ${\displaystyle x}$-Achse symmetrisch sind, hat die Subnormale an allen Stellen ${\displaystyle x_{0}}$ dieselbe Länge. Mit der Funktionsgleichung

${\displaystyle f(x)=\pm {\sqrt {2a(x-c)}}}$,

wobei ${\displaystyle a\neq 0}$ und ${\displaystyle c}$ feste Parameter sind, ergibt sich die Länge ${\displaystyle |f(x_{0})\cdot f'(x_{0})|=|a|}$.

Als Analogie z​ur Tangente g​ibt es d​ie Subtangente.

Literatur

• Guido Walz: Lexikon der Mathematik – Band 5. Springer, 2. Auflage 2017, ISBN 978-3-662-53505-9, S. 142 (online auf spektrum.de)