Steinhart-Hart-Gleichung

Die Steinhart-Hart-Gleichung beschreibt d​ie Veränderung d​es elektrischen Widerstandes b​ei einem Halbleiter zufolge e​iner Temperaturänderung u​nd findet u​nter anderem Anwendung i​m Bereich d​er elektrischen Messtechnik z​ur Temperaturmessung m​it Hilfe v​on Heißleitern (NTCs), welche e​inen Typ v​on Thermistoren darstellen. Die Formulierung d​er Gleichung g​eht auf John S. Steinhart u​nd Stanley R. Hart zurück, welche diesen Zusammenhang erstmals 1968 publizierten.[1]

Allgemeines

Die allgemeine Form der Steinhart-Hart-Gleichung, welche die Temperatur ${\displaystyle T}$ als Funktion des gemessenen elektrischen Widerstandes ${\displaystyle R}$ ausdrückt, hat folgende Form:

${\displaystyle {{\frac {1}{\{T\}}}=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\ln ^{i}(\{R\})=a_{0}+a_{1}\ln(\{R\})+a_{2}\ln ^{2}(\{R\})+a_{3}\ln ^{3}(\{R\})+a_{4}\ln ^{4}(\{R\})+\ldots }}$

mit den vom Heißleitermaterial abhängigen Koeffizienten ${\displaystyle a_{i}}$. In diese Zahlenwertgleichung muss der Zahlenwert der Temperatur ${\displaystyle T}$ in der Einheit Kelvin und der Zahlenwert des elektrischen Widerstandes ${\displaystyle R}$ in der Einheit Ohm eingesetzt werden.

Für praktische Anwendungen haben nur die Terme mit den Koeffizienten ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{1}}$ und ${\displaystyle a_{3}}$ eine Bedeutung, die restlichen Koeffizienten sind in Relation so klein, dass sie für praktische Anwendungen im Bereich der Messtechnik im Messbereich um 0 °C bis +70 °C vernachlässigt werden können.[2] Damit reduziert sich die Steinhart-Hart-Gleichung für praktische Anwendungen auf die vereinfachte Form:

${\displaystyle {\frac {1}{\{T\}}}=a_{0}+a_{1}\ln(\{R\})+a_{3}\ln ^{3}(\{R\})}$

Die drei Koeffizienten ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{1}}$ und ${\displaystyle a_{3}}$ werden als Steinhart-Hart-Koeffizienten bezeichnet und sind für verschiedene, handelsübliche Typen von Heißleiterwiderständen in deren technischen Datenblättern tabelliert.[3] Bei unbekannten Steinhart–Hart-Koeffizienten lassen sie sich durch Messungen von drei, über den Messbereich verteilten Punkten, ermitteln.

Inverse Gleichung

Die für praktische Messungen inverse Steinhart-Hart-Gleichung liefert zu einem gegebenen Temperaturwert ${\displaystyle T}$ den elektrischen Widerstand ${\displaystyle R}$, mit folgenden Zusammenhang:[4]

${\displaystyle \{R\}=\exp \left({\sqrt[{3}]{x-y}}-{\sqrt[{3}]{x+y}}\right)}$

mit

${\displaystyle y={a_{0}-{1 \over \{T\}} \over 2a_{3}}}$

und

${\displaystyle x={\sqrt {\left({a_{1} \over 3a_{3}}\right)^{3}+y^{2}}}}$

Einzelnachweise

1. John S. Steinhart, Stanley R. Hart: Calibration curves for thermistors. Band 15, Nr. 4. Deep Sea Research and Oceanographic Abstracts, 1968, ISSN 0011-7471, S. 497–503, doi:10.1016/0011-7471(68)90057-0.
2. Comments on the Steinhart-Hart Equation. BAPI, Firmenschrift, abgerufen am 28. September 2014.
3. Comments on the Steinhart-Hart Equation. BAPI, Firmenschrift, abgerufen am 28. September 2014 (Seite 4, Tabellenwerte für NTCs von 1,8kΩ bis 100kΩ).
4. Coefficients for Steinhart–Hart Equation. Archiviert vom Original am 3. März 2012; abgerufen am 28. September 2014.