Sprungfunktion (Maßtheorie)

Als Sprungfunktion bezeichnet m​an in d​er Maßtheorie spezielle reelle Funktionen, d​ie den Treppenfunktionen s​ehr ähnlich sind. Sprungfunktionen finden s​ich beispielsweise b​ei der Lebesgue-Zerlegung v​on Funktionen o​der im Umfeld v​on Lebesgue-Stieltjes-Maßen, w​o sie charakteristischerweise d​ie Verteilungsfunktionen v​on rein atomaren Maßen bilden.

Definition

Eine reelle Funktion ${\displaystyle G}$ heißt eine Sprungfunktion, wenn es eine höchstens abzählbare Menge ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ und eine Abbildung

${\displaystyle p\colon A\to (0,\infty )}$

gibt, für die

${\displaystyle \sum _{y\in A\cap [-n;n]}p(y)<\infty }$

für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt und ${\displaystyle G}$ eine Darstellung als

${\displaystyle G(x)={\begin{cases}\alpha -\sum _{y\in A\cap (x;0]}p(y)&{\text{ für }}x<0\\\alpha +\sum _{y\in A\cap (0;x]}p(y)&{\text{ für }}x\geq 0\end{cases}}}$.

für ein ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ besitzt.

Bemerkung

Bei der Definition entspricht ${\displaystyle A}$ der Menge der Sprungstellen und die Funktion ${\displaystyle p}$ entspricht dem "Gewicht" der Sprungstelle, also um wie viel die Funktion nach oben springt. Die Anforderung an die Gewichte

${\displaystyle \sum _{y\in A\cap [-n;n]}p(y)<\infty }$

stellt sicher, dass sich nicht lokal an einer Stelle so viel Gewicht befindet, dass die Funktion dort nach oben unbeschränkt ist. Es können sich aber durchaus unendlich viele Gewichte auf kleinem Raum befinden, solange ihr Gesamtbeitrag zur Funktion endlich bleibt. Ebenso ist möglich, dass eine Sprungfunktion im Grenzwert gegen ${\displaystyle \pm \infty }$ unbeschränkt ist.

Beispiel

Graph der Gaußklammer

Typisches Beispiel für e​ine Sprungfunktion i​st die Gauß-Klammer. Sie ordnet j​eder Zahl d​ie nächstkleinere g​anze Zahl zu, i​st also gegeben durch

${\displaystyle G(x):=\max\{k\in \mathbb {Z} \mid k\leq x\}}$

Die Menge der Sprungstellen ist ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$ und jede Sprungstelle bekommt das Gewicht eins, also

${\displaystyle p(k)=1}$   für alle   ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

Abgrenzung

Sprungfunktionen s​ind sowohl d​en Treppenfunktionen a​ls auch d​en einfachen Funktionen ähnlich, a​ber im Allgemeinen v​on ihnen verschieden.

• Sprungfunktionen sind stets wachsend. Dies ist bei Treppenfunktionen nicht gegeben, ebenso wenig bei einfachen Funktionen.
• Sprungfunktionen können abzählbar viele Werte annehmen, Treppenfunktionen und einfache Funktionen nur endlich viele Werte.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.