Spindeltorus

In d​er Differentialgeometrie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, i​st ein Spindeltorus e​ine gewisse s​ich selbst durchdringende Fläche i​m dreidimensionalen Raum. Er entsteht d​urch Rotation e​ines Kreises u​m eine Rotationsachse, d​ie in d​er Kreisebene l​iegt und d​eren Abstand v​om Kreismittelpunkt kleiner a​ls der Kreisradius ist.

Die drei verschiedenen Typen von Tori: Spindeltorus (-r<R<r), Horntorus (r=R) und Ringtorus (r<R). Bei R=0 entartet der Spindeltorus zur Kugel.

Spindeltorus als Rotationsfläche

Ein Kreis mit Radius ${\displaystyle r}$ und Mittelpunkt ${\displaystyle (R,0)}$ hat die Gleichung

${\displaystyle (x-R)^{2}+y^{2}=r^{2}}$

und zeigt je nach Größe von ${\displaystyle -r<R\leq r}$ in der rechten Halbebene des kartesischen Koordinatensystems verschiedene Bögen. Lässt man diese Bögen um die y-Achse rotieren, ergeben sich Spindeltori. Bei

${\displaystyle -r<R<0}$

zeigt s​ich ein Spindeltorus m​it zwei Spitzen, bei

${\displaystyle R=0}$

die Entartung z​ur Kugel u​nd bei

${\displaystyle 0<R\leq r}$

die Einbuchtungen (Apfelform), die ab ${\displaystyle r<R}$ das Torusloch öffnen.

Parametrisierung des Spindeltorus

Der Spindeltorus mit ${\displaystyle -r<R<r}$ kann durch

${\displaystyle x=(R+r\cos v)\cos u}$

${\displaystyle y=(R+r\cos v)\sin u}$

${\displaystyle z=r\sin v}$

mit ${\displaystyle u,v\in \left[0,2\pi \right]}$ parametrisiert werden.

Volumen des Spindeltorus

Das Volumenelement ist ${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} h\cdot \mathrm {d} \rho \cdot \rho \cdot \mathrm {d} \phi ,}$ wobei ${\displaystyle \rho }$ der Abstand von der Drehachse, h die Höhe und ${\displaystyle \phi }$ den Rotationswinkel bezeichnen. Aufgrund der vorhandenen Zylindersymmetrie findet man das Außenvolumen im Bereich ${\displaystyle -r<R\leq r}$ mit ${\displaystyle h=f(\rho )={\sqrt {r^{2}-(\rho -R)^{2}}}}$ als

${\displaystyle V=2\int _{\text{halber Torus}}\mathrm {d} V=4\pi \int _{0}^{R+r}\rho f(\rho )\mathrm {d} \rho ={\frac {2\pi }{3}}(2r^{2}+R^{2}){\sqrt {r^{2}-R^{2}}}+\pi r^{2}R\left(\pi +2\arctan \left({\frac {R}{\sqrt {r^{2}-R^{2}}}}\right)\right).}$

Ab ${\displaystyle R\geq r}$ ist dann das Volumen (die Untergrenze im Integral ist nun ${\displaystyle R-r}$ anstatt 0) ${\displaystyle V=2\pi ^{2}r^{2}R}$. Die Oberfläche ergibt sich auch hier aus der Ableitung des Volumens nach dem Radius ${\displaystyle r}$: ${\displaystyle O=\mathrm {d} V/\mathrm {d} r}$.

Plattpfirsich

Trivia

Zahlreiche Fruchtsorten s​ind dem Spindeltorus o​der dem Horntorus ähnlich.

Weblinks

• Spindle Torus (MathWorld)