Sobolevsche orthogonale Polynome

Sobolevsche orthogonale Polynome s​ind orthogonale Polynome bezüglich e​ines sobolevschen inneren Produktes, d​as heißt e​in inneres Produkt m​it Ableitungen. Dadurch i​st der Multiplikationsoperator bezüglich d​es inneren Produktes n​icht mehr kommutativ

${\displaystyle \langle xp_{n},p_{s}\rangle _{W^{n}}\neq \langle p_{n},xp_{s}\rangle _{W^{n}}}$

und d​ie Polynome verlieren e​in paar g​ute Eigenschaften d​er klassischen orthogonalen Polynome. Zum Beispiel gelten Favards Theorem (somit a​uch die 3-Rekursionsrelation) u​nd die Christoffel-Darboux-Formel n​icht mehr. Klassische orthogonale Polynome s​ind allerdings a​uch sobolevsche orthogonale Polynome, d​a deren Ableitungen wieder orthogonale Polynome sind.

Sie s​ind nach Sergei Lwowitsch Sobolew benannt.

Sobolevsche orthogonale Polynome

Seien ${\displaystyle \mu _{0},\mu _{1},\dots ,\mu _{n}}$ positive Borelmaße auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit endlichen Momenten. Betrachte das innere Produkt

${\displaystyle \langle p_{n},p_{s}\rangle _{W^{n}}=\int _{\mathbb {R} }p_{n}(x)p_{s}(x)\;\mathrm {d} \mu _{0}+\sum \limits _{k=1}^{n}\int _{\mathbb {R} }p_{n}^{(k)}(x)p_{s}^{(k)}(x)\;\mathrm {d} \mu _{k}}$

mit zugehörigem Sobolev-Raum ${\displaystyle W^{2,n}}$, dann sind die sobolevschen orthogonalen Polynome ${\displaystyle \{p_{n}\}_{n\geq 0}}$ durch

${\displaystyle \langle p_{n},p_{s}\rangle _{W^{n}}=c_{n}\delta _{ns}}$

definiert, wobei ${\displaystyle \delta _{ns}}$ das Kronecker-Delta bezeichnet. Man nennt solche Polynome auch sobolev-orthogonal.

Es existiert viel Literatur für den Fall ${\displaystyle n=1}$.

Kohärente Paare

Sei ${\displaystyle -\infty \leq a<b\leq \infty }$ und betrachte das innere Produkt

${\displaystyle \langle p_{n},p_{s}\rangle _{W_{\lambda }^{1}}=\int _{a}^{b}p_{n}p_{s}\;\mathrm {d} \mu _{0}+\lambda \int _{a}^{b}p_{n}'p_{s}'\;\mathrm {d} \mu _{1}.}$

Kohärent:

Sei ${\displaystyle \{t_{n}\}}$ eine Folge von monischen orthogonalen Polynome (MOPS) bezüglich ${\displaystyle \mathrm {d} \mu _{1}}$ und ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ eine MOPS bezüglich ${\displaystyle \mathrm {d} \mu _{0}}$. Dann bezeichnet man ${\displaystyle \{\mathrm {d} \mu _{0},\mathrm {d} \mu _{1}\}}$ als kohärent wenn eine reelle Folge ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 1},\ a_{i}\neq 0}$ existiert, so dass für ${\displaystyle n\geq 1}$[1]

${\displaystyle t_{n}={\frac {p'_{n+1}}{n+1}}+a_{n}{\frac {p'_{n}}{n}}.}$

Symmetrisch-Kohärent:

Falls ${\displaystyle [a,b]=[-c,c]}$, ${\displaystyle \mathrm {d} \mu _{0}}$ und ${\displaystyle \mathrm {d} \mu _{1}}$ symmetrisch sind, d. h. invariant unter der Transformation ${\displaystyle x\mapsto -x}$, und eine reelle Folge ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 1},\ a_{i}\neq 0}$ existiert, so dass für ${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle t_{n}={\frac {p'_{n+1}}{n+1}}+a_{n}{\frac {p'_{n-1}}{n-1}}}$

dann bezeichnet man ${\displaystyle \{\mathrm {d} \mu _{0},\mathrm {d} \mu _{1}\}}$ als symmetrisch-kohärent.

Selbst-Kohärent:

Falls ${\displaystyle \mathrm {d} \mu _{0}=\mathrm {d} \mu _{1}}$ dann bezeichnet man ${\displaystyle \mathrm {d} \mu _{0}}$ als selbst-kohärent.

Eigenschaften

Sei ${\displaystyle \{\mathrm {d} \mu _{0},\mathrm {d} \mu _{1}\}}$ ein kohärentes Paar und ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ orthogonal bezüglich ${\displaystyle \mathrm {d} \mu _{0}}$. Weiter sei ${\displaystyle \{s_{n}^{(\lambda )}\}}$ eine Folge von Polynomen, welche sobolev-orthogonal bezüglich ${\displaystyle \langle ,\rangle _{W_{\lambda }^{1}}}$ sind und ${\displaystyle \{s_{n}^{(0)}\}=\{p_{n}\}}$. Unter passender Normalisierung von ${\displaystyle \{s_{n}^{(\lambda )}\}}$ und ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ besitzt ${\displaystyle \{s_{n}^{(\lambda )}\}}$ folgende Darstellung für ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle s_{n}^{(\lambda )}(x)=\sum \limits _{k=1}^{n}\alpha _{k}(\lambda )p_{k}(x)}$

wobei ${\displaystyle \{\alpha _{k}(\lambda )\}_{k=1}^{n-1}}$ unabhängig von ${\displaystyle n}$ sind.

Daraus f​olgt die Rekursionsrelation

${\displaystyle s_{n+1}^{(\lambda )}(x)-s_{n}^{(\lambda )}(x)=\gamma _{n}(\lambda )(p_{n+1}(x)-p_{n}(x))}$

wobei ${\displaystyle \gamma _{n}}$ durch die ${\displaystyle \{\alpha _{k}\}_{k=1}^{n}}$ geschrieben werden kann.[2]

Literatur

• F. Marcellan und Y. Xu: On Sobolev orthogonal polynomials, 2014

Einzelnachweise

1. F. Marcellan and Y. Xu: On Sobolev orthogonal polynomials. 2014, arxiv:1403.6249.
2. A. Iserles, P.E. Koch, S.P. Nørsett, J.M. Sanz-Serna,: On polynomials orthogonal with respect to certain Sobolev inner products. In: Journal of Approximation Theory, Volume 65. Nr. 2, Mai 1991, doi:10.1016/0021-9045(91)90100-O.