Sierpiński-Raum

Der Sierpiński-Raum i​st ein topologischer Raum, bestehend a​us zwei Punkten, i​n dem e​xakt eine Menge o​ffen und n​icht zugleich abgeschlossen ist. Es handelt s​ich um d​en kleinsten Raum m​it nicht diskreter u​nd nicht trivialer Topologie.

Definition

Die dem Sierpiński-Raum ${\displaystyle \mathbb {S} }$ zugrundeliegende Punktmenge ist ${\displaystyle \{\bot ,\top \}}$; seine offenen Mengen sind ${\displaystyle \emptyset ,\{\top \}}$ und ${\displaystyle \{\bot ,\top \}}$.

Beziehung zu anderen topologischen Räumen

Ist ${\displaystyle M}$ eine beliebige Menge, und ${\displaystyle 2:=\{0,1\}}$ eine zweielementige Menge, dann entspricht jeder Funktion ${\displaystyle \chi _{A}\colon M\to 2}$ eine Teilmenge ${\displaystyle A\subseteq M}$, und umgekehrt.

Eine zu ${\displaystyle 2}$ analoge Rolle übernimmt ${\displaystyle \mathbb {S} }$ im Fall von stetigen Funktionen und offenen Teilmengen. Sei ${\displaystyle M}$ ein beliebiger topologischer Raum. Für eine stetige Funktion ${\displaystyle \chi \colon M\to \mathbb {S} }$ gilt nach der Definition für stetige Funktionen, dass die Urbilder offener Mengen offen sind. ${\displaystyle \chi ^{-1}(\{\bot ,\top \})=M}$ und ${\displaystyle \chi ^{-1}(\emptyset )=\emptyset }$. Ein interessantes Ergebnis liefert ${\displaystyle \chi ^{-1}(\{\top \})}$. Dies ist nämlich eine offene Teilmenge von ${\displaystyle M}$ und wird durch das stetige ${\displaystyle \chi }$ eindeutig bestimmt.

Der Sierpiński-Raum ist Kogenerator der Kategorie der Kolmogorow-Räume: Sind ${\displaystyle f,g\colon A\to B}$ stetige Abbildungen zwischen zwei Kolmogorow-Räumen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit ${\displaystyle f\neq g}$, so existiert eine stetige Abbildung ${\displaystyle d\colon B\to \mathbb {S} }$, sodass ${\displaystyle df\neq dg}$: Sei hierfür ${\displaystyle x\in A}$ mit ${\displaystyle f(x)\neq g(x)}$, so ist zumindest ${\displaystyle f(x)}$ durch eine offene Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle g(x)}$ getrennt, oder umgekehrt (da ${\displaystyle B}$ ein Kolmogorow-Raum ist). Dann liefert ${\displaystyle \chi _{U}}$ das gewünschte ${\displaystyle d}$. Tatsächlich sind die Kogeneratoren der Kategorie der Kolmogorow-Räume gerade alle Kolmogorow-Räume, die einen Unterraum enthalten, der homöomorph zu ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ist.[1]

Einzelnachweise

1. Dieter Pumplün: Elemente der Kategorientheorie. Spektrum – Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 1999, ISBN 3-86025-676-9, S. 80.

Literatur

• Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Dover Publications, New York NY 1995, ISBN 0-486-68735-X (MR 507446).