Shapiro-Ungleichung

Die Shapiro-Ungleichung i​st eine für Folgen positiver Zahlen geltende Ungleichung d​er Mathematik. Sie i​st nach Harold Shapiro benannt.

Ungleichung

Es s​ei

${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$

eine Folge positiver reeller Zahlen.

Dann gilt für alle geraden Zahlen ${\displaystyle n\leq 12}$ und alle ungeraden Zahlen ${\displaystyle n\leq 23}$ die Ungleichung

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+\ldots +{\frac {x_{n-2}}{x_{n-1}+x_{n}}}+{\frac {x_{n-1}}{x_{n}+x_{1}}}+{\frac {x_{n}}{x_{1}+x_{2}}}\geq {\frac {n}{2}}}$.

Gegenbeispiele

Die Ungleichung gilt im Allgemeinen nicht für gerade Zahlen ${\displaystyle n\geq 14}$ und für ungerade Zahlen ${\displaystyle n\geq 25}$.

Das einfachste bekannte Gegenbeispiel für ${\displaystyle n=14}$ ist die Folge

${\displaystyle \epsilon ,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,\epsilon ,40}$

für hinreichend kleine ${\displaystyle \epsilon >0}$.

Literatur

• H. S. Shapiro: Advanced Problems and Solutions, Amer. Math. Monthly 61 (1954), 571–572.
• B. A. Troesch: The validity of Shapiro's cyclic inequality. Math. Comp. 53 (1989), no. 188, 657–664.
• R. Hemmecke, W. Moldenhauer: Über Shapiro's Ungleichung. Wiss. Z. Pädagog. Hochsch. Erfurt/Mühlhausen Math.-Natur. Reihe 26 (1990), no. 1, 33–41.
• A. Clausing: A review of Shapiro's cyclic inequality. General inequalities, 6 (Oberwolfach, 1990), 17–31, Internat. Ser. Numer. Math., 103, Birkhäuser, Basel, 1992.
• A. M. Fink: Shapiro's inequality. Recent progress in inequalities (Niš, 1996), 241–248, Math. Appl., 430, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998
• T. Ando: A new proof of Shapiro inequality. Math. Inequal. Appl. 16 (2013), no. 3, 611–632.