Semiprimideal

Ein Semiprimideal ist ein Begriff aus der abstrakten Algebra. Er stellt eine Erweiterung des Begriffs des Primideals dar.

Definition

Im Folgenden sei R ein Ring mit Eins. Dann ist ein Ideal Q von R ein Semiprimideal, wenn es eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:[1]

Ist $I\triangleleft R$ ein Ideal von R mit $I^{2}\subseteq Q$ , dann ist $I\subseteq Q$ .
Q ist ein Durchschnitt von Primidealen.

Eigenschaften

Ein Ring R heißt semiprim, wenn $\{0\}$ ein Semiprimideal ist. Dann ist die Abbildung $R\rightarrow \prod _{P}R/P,\,x\mapsto (x+P)_{P}$ , wobei das Produkt über alle Primideale gebildet wird, injektiv. Daher ist ein semiprimer Ring subdirektes Produkt primer Ringe, das heißt solcher, in denen das Nullideal prim ist.[2]
Ein Durchschnitt von Semiprimidealen ist wieder ein Semiprimideal.
Das Primradikal ist das kleinste Semiprimideal.

Einzelnachweise

Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Theorem 2.6.17 angewandt auf R/Q.
Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), § 2.2.

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[1] Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Theorem 2.6.17 angewandt auf R/Q.

[2] Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), § 2.2.