Schwach folgenabgeschlossene Menge

Schwach folgenabgeschlossene Menge i​st ein Begriff a​us der Topologie, e​inem Teilbereich d​er Mathematik. Sie verallgemeinert d​en Begriff d​er abgeschlossenen Menge, w​enn man d​iese als Menge a​ller Grenzwerte ansieht. Schwach folgenabgeschlossene Mengen finden s​ich bei d​er Diskussion v​on Eigenschaften v​on schwachen Topologien u​nd bei d​er Lösung v​on Abstandsproblemen i​n reflexiven Banachräumen.

Definition

Gegeben sei ein normierter Raum ${\displaystyle (X,\Vert \cdot \Vert )}$. Eine nichtleere Teilmenge ${\displaystyle M\subset X}$ heißt schwach folgenabgeschlossen genau dann, wenn für jede Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ in der Menge ${\displaystyle M}$, die schwach zum schwachen Grenzwert ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ konvergiert, der Grenzwert ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ wieder in der Menge ${\displaystyle M}$ liegt.

Eigenschaften

• Jede schwach folgenabgeschlossene Menge ist auch abgeschlossen, da jede konvergente Folge auch schwach konvergiert. Die Umkehrung gilt aber nicht.
• Jede nichtleere abgeschlossene und konvexe Teilmenge eines normierten Raumes ist schwach folgenabgeschlossen.
• Daraus folgt direkt der Satz von Mazur: Ist ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine schwach konvergente Folge in einem normierten Raum mit schwachem Grenzwert ${\displaystyle {\tilde {x}}}$, so ist ${\displaystyle {\tilde {x}}\in {\overline {\operatorname {conv} \{x_{n}\,,\,n\in \mathbb {N} \}}}}$.
• Der Epigraph einer Funktion ist genau dann schwach folgenabgeschlossen, wenn die Funktion schwach unterhalbstetig ist.

Siehe auch

• Schwach folgenkompakte Menge

Literatur

• Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49378-5.
• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.