Schnirelmann-Dichte

Die Schnirelmann-Dichte s​oll in d​er additiven Zahlentheorie d​ie "Dichtheit" e​iner Folge quantifizieren. Sie i​st stets wohldefiniert, a​uch wenn d​ie asymptotische Dichte e​iner Folge n​icht existiert.

Definition

Sei eine Menge natürlicher Zahlen. Dann ist ihre Schnirelmann-Dichte

, wobei die Anzahl der natürlichen Zahlen in A beschreibt, die n nicht überschreiten.

Aus der Definition folgt und . Es gilt also insbesondere

und
.
Damit sind die Schnirelmann-Dichten der geraden und ungeraden Zahlen jeweils und .

Satz von Mann

Dieser Satz w​urde 1942 v​on Henry Mann bewiesen:

Seien Mengen natürlicher Zahlen und . Dann gilt:

Waringsches Problem

Sei . Dann lässt sich das waringsche Problem wie folgt formulieren:
Für jedes existiert ein , sodass .
Jede natürliche Zahl lässt sich also als Summe aus -Potenzen darstellen.

Literatur

  • Lew Schnirelmann: Über additive Eigenschaften von Zahlen. Math. Ann. 107, 649–690 (1933)
  • Henry Mann: A proof of the fundamental theorem on the density of sums of sets of positive integers. Ann. math. 43, 43, 523–527 (1942)
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