Schmetterlingssatz

Der Schmetterlingssatz (englisch Butterfly theorem) i​st ein Lehrsatz d​er Elementargeometrie, d​er eine Eigenschaft v​on Kreissehnen behandelt u​nd sich a​ls Korollar d​es Sehnensatzes u​nter Anwendung d​er Ähnlichkeitslehre ergibt. Der Name erklärt s​ich aus d​er Ähnlichkeit zwischen e​iner Planfigur z​u diesem Satz u​nd der skizzenhaften Darstellung e​ines Schmetterlings.

Schmetterlingssatz

Formulierung des Satzes

Gegeben sei ein Kreis mit einer Sehne ${\displaystyle [ST]}$. ${\displaystyle M}$ sei der Mittelpunkt dieser Sehne. ${\displaystyle [AB]}$ und ${\displaystyle [CD]}$ seien zwei weitere Kreissehnen, die ebenfalls durch ${\displaystyle M}$ gehen. Dabei sollen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle C}$ auf derselben Seite von ${\displaystyle [ST]}$ liegen. ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ seien die Schnittpunkte der Kreissehnen ${\displaystyle [AD]}$ bzw. ${\displaystyle [CB]}$ mit ${\displaystyle [ST]}$.

Dann gilt: ${\displaystyle M}$ ist auch der Mittelpunkt der Strecke ${\displaystyle [PQ]}$ .

Literatur

• William I. Jacobson: The Butterfly Problem-Extensions, Generalizations. Mathematics Magazine, Vol. 42, No. 1 (Jan., 1969), pp. 17–21 (JSTOR 2688031)
• Rudolf Fritsch: Bemerkungen zum Schmetterlingssatz. Beiträge zu Mathematikunterricht 2003, Franzbecker, 2003, S. 221–224
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 9783662454619, S. 125

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Butterfly Theorem. In: MathWorld (englisch). ; vgl. auch in WolframDemonstationsProject
• Eine Verbesserung des Schmetterlingssatzes (cut-the-knot, engl.)
• Verallgemeinerung des Schmetterlingssatzes auf Ellipsen