Schenkeltransversalensatz

Der Schenkeltransversalensatz i​st ein Satz d​er Elementargeometrie über gleichschenklige Dreiecke. Er beschreibt d​ie Flächengleichheit bestimmter Rechtecke, d​ie durch d​en Schnitt d​es gleichschenkligen Dreiecks m​it einer bestimmten Transversalen entstehen. Der Satz liefert i​n einem Spezialfall z​udem den Satz d​es Pythagoras u​nd man k​ann ihn d​aher als dessen Verallgemeinerung betrachten. Allerdings lässt d​er Satz s​ich auch m​it Hilfe d​es Satzes v​on Pythagoras beweisen, s​o dass b​eide Sätze letztlich gleichwertig bzw. logisch äquivalent sind.[1] Der Satz f​olgt auch a​us dem Satz v​on Stewart.

${\displaystyle |CP|^{2}=|BC|^{2}+|PA|\cdot |PB|}$
(dunkelgraue Fläche = hellgraue Fläche)

${\displaystyle |CP|^{2}=|BC|^{2}-|PA|\cdot |PB|}$
(dunkelgraue Fläche = hellgraue Fläche)

Der Schenkeltransversalensatz s​oll schon i​n den Elementen d​es Euklid (um 300 v. Chr.) auftauchen.[2]

Formulierung des Satzes

Gegeben sei ein gleichschenkliges Dreieck ${\displaystyle \triangle ABC}$ mit der Basis ${\displaystyle AB}$ und der Spitze ${\displaystyle C}$. Die durch die Basis ${\displaystyle AB}$ verlaufende Gerade sei mit ${\displaystyle g}$ bezeichnet.

Weiter sei gegeben eine Transversale durch die Spitze ${\displaystyle C}$ von ${\displaystyle \Delta ABC}$, welche ${\displaystyle g}$ in einem Punkt ${\displaystyle P}$ schneidet.

Dann gilt:

${\displaystyle |CP|^{2}=|AC|^{2}+|PA|\cdot |PB|}$,

falls ${\displaystyle P}$ nicht auf der Strecke ${\displaystyle AB}$ liegt und

${\displaystyle |CP|^{2}=|AC|^{2}-|PA|\cdot |PB|}$,

falls ${\displaystyle P}$ zwischen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ liegt.

Beweis

Skizze zum Beweis

Die Höhe ${\displaystyle h}$ teilt die Grundseite ${\displaystyle AB}$ des gleichschenkligen Dreieckes ${\displaystyle \triangle ABC}$ in zwei gleich große Abschnitte. Zudem liefert sie die rechtwinkligen Dreiecke ${\displaystyle \triangle PDC}$ und ${\displaystyle \triangle DBC}$, auf die man den Satz des Pythagoras anwendet. Das ergibt zwei Gleichungen, aus denen dann die Aussage des Satzes folgt.

Fall 1: ${\displaystyle P}$ liegt außerhalb von ${\displaystyle AB}$

${\displaystyle |CP|^{2}=h^{2}+\left({\tfrac {|AB|}{2}}+|PA|\right)^{2}}$

${\displaystyle |CB|^{2}=h^{2}+\left({\tfrac {|AB|}{2}}\right)^{2}}$

Löst man die zweite Gleichung nach ${\displaystyle h^{2}}$ auf und setzt den so erhaltenen Wert für ${\displaystyle h^{2}}$ in der ersten Gleichung ein, so erhält man:

${\displaystyle {\begin{aligned}|CP|^{2}&=|CB|^{2}-\left({\tfrac {|AB|}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {|AB|}{2}}+|PA|\right)^{2}\\&=|CB|^{2}+|AB|\cdot |PA|+|PA|^{2}\\&=|CB|^{2}+|PA|\cdot |PB|\end{aligned}}}$

Skizze zum Beweis

Fall 2: ${\displaystyle P}$ liegt innerhalb von ${\displaystyle AB}$

${\displaystyle |CP|^{2}=h^{2}+\left({\tfrac {|AB|}{2}}-|PA|\right)^{2}}$

${\displaystyle |CB|^{2}=h^{2}+\left({\tfrac {|AB|}{2}}\right)^{2}}$

Löst man die zweite Gleichung nach ${\displaystyle h^{2}}$ auf und setzt den so erhaltenen Wert für ${\displaystyle h^{2}}$ in der ersten Gleichung ein, so erhält man:

${\displaystyle {\begin{aligned}|CP|^{2}&=|CB|^{2}-\left({\tfrac {|AB|}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {|AB|}{2}}-|PA|\right)^{2}\\&=|CB|^{2}-|AB|\cdot |PA|+|PA|^{2}\\&=|CB|^{2}-|PA|\cdot |PB|\end{aligned}}}$

Satz des Pythagoras als Spezialfall

${\displaystyle |CB|^{2}=|PC|^{2}+|PB|^{2}}$
(Satz des Pythagoras für ${\displaystyle \triangle PBC}$)

Betrachtet man den Spezialfall, bei dem ${\displaystyle P}$ in der Mitte der Grundseite ${\displaystyle AB}$ liegt, so ist ${\displaystyle CP}$ mit der Höhe ${\displaystyle h}$ des gleichschenkligen Dreiecks ${\displaystyle \triangle ABC}$ identisch und das Rechteck ${\displaystyle \square PBMO}$ ist ein Quadrat. Damit gilt dann der Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck ${\displaystyle \triangle PBC}$. Für ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck erhält man durch Spiegelung an einer seiner beiden Katheten, immer ein gleichschenkliges Dreieck, in dem der Schenkeltransversalensatz gilt und einem den Satz des Pythagoras liefert.

Literatur

• Heinrich Dörrie: Der Schenkel-Transversalensatz, Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht 53, 1922, S. 8–14 (Jahrbuch-Rezension)
• Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. 13. Auflage. Ausgabe E. Teil 2. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965.

Einzelnachweise

1. Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. 13. Auflage. Ausgabe E. Teil 2. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965, S. 104.
2. Im Lambacher-Schweizer, S. 232, wird der Schenkeltransversalensatz wie folgt mit der Satzgruppe des Pythagoras in Verbindung gebracht: „Der älteste überlieferte Beweis stammt von Euklid (um 300 v. Chr.) und krönt das 1. Buch seiner ElementeEuklid verfährt nach … und beweist zuerst den Kathetensatz. Er bringt auch den Höhensatz, den allgemeinen pythagoreischen Satz … und den Schenkeltransversalensatz“.