Satz von Whitehead-Serre

Der Satz v​on Whitehead-Serre i​st ein mathematischer Lehrsatz a​us der algebraischen Topologie, speziell d​er Homotopietheorie.

Homotopiegruppen topologischer Räume s​ind notorisch schwer z​u berechnen, während e​s für d​ie Berechnung d​er Homologiegruppen v​on CW-Komplexen einfache Algorithmen gibt. Der Satz v​on Whitehead-Serre besagt jedoch, d​ass für einfach zusammenhängende Räume d​ie rationalen Homotopiegruppen ebenso einfach berechnet werden können w​ie die rationalen Homologiegruppen.

Er i​st nach J. H. C. Whitehead[1] u​nd Jean-Pierre Serre benannt.

Satz von Whitehead-Serre

Sei

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

eine stetige Abbildung zwischen einfach zusammenhängenden Räumen. Dann s​ind die folgenden Bedingungen äquivalent:

• ${\displaystyle f_{*}\otimes id\colon \pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to \pi _{*}(Y)\otimes \mathbb {Q} }$ ist ein Isomorphismus.
• ${\displaystyle f_{*}\colon H_{*}(X;\mathbb {Q} )\to H_{*}(Y;\mathbb {Q} )}$ ist ein Isomorphismus.

Verwandte Sätze

Eng m​it dem Satz v​on Whitehead-Serre hängt d​er Satz v​on Whitehead zusammen, d​ass eine stetige Abbildung zwischen einfach zusammenhängenden Räumen g​enau dann e​ine schwache Homotopieäquivalenz ist, w​enn sie e​inen Isomorphismus d​er singulären Homologiegruppen induziert.

Weiterhin gilt für ${\displaystyle r}$-zusammenhängende Räume mit ${\displaystyle r\geq 2}$, dass der durch den Satz von Hurewicz gegebene Homomorphismus ${\displaystyle \pi _{r}(X)\to H_{r}(X;\mathbb {Z} )}$ einen Isomorphismus

${\displaystyle \pi _{r}(X)\otimes \mathbb {Q} \simeq H_{r}(X;\mathbb {Q} )}$

induziert.

Literatur

• Yves Félix, Steve Halperin, J.C. Thomas: ‘‘Rational Homotopy Theory‘‘, Graduate Texts in Mathematics, 205, Springer-Verlag, 2000.

Einzelnachweise

1. Whitehead, Combinatorial Homotopy I, Bulletin AMS, Band 55, 1949, S. 213–245, Online