Satz von Matsumoto

Der Satz von Matsumoto ist ein Lemma aus dem mathematischen Teilgebiet der K-Theorie, er gibt eine explizite Beschreibung für die zweite algebraische K-Theorie eines Körpers an. Der Satz ist benannt nach dem japanischen Mathematiker Matsumoto Hideya.

Satz von Matsumoto

Es sei ${\displaystyle F}$ ein Körper und ${\displaystyle K_{2}(F)}$ seine zweite algebraische K-Theorie, dann gilt:

${\displaystyle K_{2}(F)=F^{\times }\otimes _{\mathbf {Z} }F^{\times }/\langle a\otimes (1-a)\mid a\not =0,1\rangle .}$.

Anders gesagt: ${\displaystyle K_{2}(F)}$ ist isomorph zum Kokern der Dehn-Invariante

${\displaystyle D\colon \mathbb {Z} \left[F\setminus \left\{0,1\right\}\right]\to F^{\times }\otimes _{\mathbf {Z} }F^{\times }}$

${\displaystyle D(a):=a\otimes (1-a)}$

Milnors K-Theorie (Historie)

Motiviert durch den Satz von Matsumoto definierte Milnor die später nach ihm benannte Milnors K-Theorie ${\displaystyle K^{M}(F)}$ von Körpern durch

${\displaystyle K_{*}^{M}(F):=T^{*}F^{\times }/(a\otimes (1-a))}$,

also a​ls graduierte Bestandteile d​es Quotienten d​er Tensoralgebra über d​er abelschen Gruppe F^× n​ach dem zweiseitigen Ideal, d​as von d​en Elementen d​er Form

${\displaystyle a\otimes (1-a)}$

für a ≠ 0,1 erzeugt wird. Es g​ibt eine Abbildung

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to K_{n}(F),}$

die für ${\displaystyle n=0,1}$ und nach dem Satz von Matsumoto auch für ${\displaystyle n=2}$ ein Isomorphismus ist.

Für ${\displaystyle n>2}$ ist ${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to K_{n}(F)}$ jedoch kein Isomorphismus, der Kokern

${\displaystyle K_{n}^{ind}(F):=\mathrm {Kokern} (K_{n}^{M}(F)\to K_{n}(F))}$

ist die sogenannte indekomposable K-Theorie, die im Fall von Zahlkörpern gleich ${\displaystyle K_{n}(F)}$ ist.

Für ${\displaystyle n=3}$ ist ${\displaystyle K_{3}^{ind}(F)}$ modulo 2-Torsion zur Bloch-Gruppe isomorph.

Literatur

• J. Rosenberg: Algebraic K-theory and its applications. (= Graduate Texts in Mathematics. 147). Springer Verlag, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-94248-3.
• H. Matsumoto: Sur les sous-groupes arithmétiques des groupes semi-simples déployés. In: Ann.Sci.École Norm.Sup. Serie 4, Band 2, 1969, S. 1–62. (franz.)

Weblinks

• Dalawat: Some aspects of the functor K₂ of fields