Satz von Kronecker (Körpertheorie)

Der Satz v​on Kronecker (englisch Kronecker's theorem) d​er Körpertheorie i​st einer d​er Lehrsätze d​es Mathematikers Leopold Kronecker, welche innerhalb d​er Algebra angesiedelt sind. Der Satz behandelt d​ie Frage d​er Existenz v​on Nullstellen v​on Polynomen über kommutativen Körpern u​nd ist a​ls solcher grundlegend i​n der Theorie d​er Zerfällungskörper.[1][2][3][4]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt s​ich zusammengefasst formulieren w​ie folgt:

(1) Zu einem beliebigen irreduziblen Polynom ${\displaystyle p\in K[X]}$ über einem kommutativen Körper ${\displaystyle K}$ lässt sich stets eine endliche Körpererweiterung ${\displaystyle L/K}$ finden, in der ${\displaystyle p}$ eine Nullstelle hat und deren Erweiterungsgrad mit dem Grad des Polynoms übereinstimmt;

also derart, dass stets die Gleichungen

(1a) ${\displaystyle p(x_{0})=0}$ für mindestens ein ${\displaystyle x_{0}\in L}$

(1b) ${\displaystyle [L:K]=\deg(p)}$

erfüllt sind.

(2) Zu jedem nichtkonstanten Polynom ${\displaystyle f\in K[X]}$ über einem kommutativen Körper ${\displaystyle K}$ gibt es stets eine endliche Körpererweiterung ${\displaystyle L/K}$, in der ${\displaystyle f}$ eine Nullstelle hat und deren Erweiterungsgrad in Bezug auf den Grad des Polynoms die Ungleichung ${\displaystyle [L:K]\leq \deg(f)}$ erfüllt.

Folgerung

Der kroneckersche Satz z​ieht das folgende Resultat n​ach sich:

Zu jedem kommutativen Körper ${\displaystyle K}$ und jedem Polynom ${\displaystyle f\in K[X]}$ existiert ein Zerfällungskörper ${\displaystyle S_{f}/K}$, für dessen Erweiterungsgrad in Bezug auf den Grad des Polynoms die Ungleichung ${\displaystyle [S_{f}:K]\leq \deg(f)!}$ besteht.[5][6]

Quellen

• R B J T Allenby: Rings, Fields and Groups. An Introduction to Abstract Algebra. 2. Auflage. Arnold, London (u. a.) 1991 (MR1144518).
• E. Artin: Galoissche Theorie. Verlag Harri Deutsch, Berlin (u. a.) 1968.
• P. M. Cohn: Algebra. Volume 2. 9. Auflage. John Wiley & Sons, London (u. a.) 1989, ISBN 0-471-92234-X (MR1006872).
• Kurt Meyberg: Algebra. Teil 2 (= Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure). Carl Hanser Verlag, Wien 1976, ISBN 3-446-12172-2 (MR0460011).
• B. L. van der Waerden: Algebra I. 9. Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1993, ISBN 3-540-56799-2.

Einzelnachweise und Fußnoten

1. Allenby: Rings, Fields and Groups. 1991, S. 140 ff
2. Artin: Galoissche Theorie. 1968, S. 24 ff
3. Cohn: Algebra vol. 2. 1989, S. 69 ff
4. Meyberg: Algebra. Teil 2. 1975, S. 28 ff
5. Das Ausrufezeichen steht für die Fakultätsfunktion.
6. Wie sich zeigt, ist der Zerfällungskörper ${\displaystyle S_{f}}$ bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.