Satz von Jordan-Schur

Der Satz von Jordan-Schur, auch unter dem Namen Satz von Jordan über endliche lineare Gruppen bekannt, ist ein mathematischer Satz, der in seiner ursprünglichen Form von Camille Jordan[1] stammt. In dieser Form besagt er, dass es eine Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ gibt, so dass es zu jeder endlichen Untergruppe ${\displaystyle G}$ der allgemeinen linearen Gruppe ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ eine Untergruppe ${\displaystyle H\subset G}$ gibt, so dass Folgendes gilt:

• ${\displaystyle H}$ ist abelsch,
• ${\displaystyle H}$ ist ein Normalteiler von ${\displaystyle G}$,
• der Index von ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ erfüllt ${\displaystyle [G:H]\leq f(n)}$.

Da ${\displaystyle f(n)}$ nicht von ${\displaystyle G}$ abhängt ist das für festes n ein Endlichkeitssatz für die Quotientengruppen G/H.

Issai Schur h​atte ein allgemeineres Ergebnis erzielt, i​ndem er n​icht mehr d​ie Endlichkeit d​er Gruppe voraussetzte, sondern n​ur noch, d​ass es s​ich um e​ine Torsionsgruppe handelt. Schur zeigte, d​ass man

${\displaystyle f(n)=((8n)^{\frac {1}{2}}+1)^{2n^{2}}-((8n)^{\frac {1}{2}}-1)^{2n^{2}}}$

nehmen kann.[2] Speiser erhielt für ${\displaystyle n\geq 3}$ und unter der Voraussetzung der Endlichkeit von ${\displaystyle G}$ die bessere Abschätzung

${\displaystyle f(n)=n!\cdot 12^{n(\pi (n+1)+1)}}$,

wobei ${\displaystyle \pi }$ die Primzahlfunktion ist.[3][4] In einer weiteren Verbesserung konnte Blichfeldt in obiger Formel 12 durch 6 ersetzen. Schließlich zeigte Michael Collins unter der Voraussetzung der Endlichkeit von ${\displaystyle G}$ mit Hilfe des Klassifikationssatzes endlicher einfacher Gruppen, dass man für ${\displaystyle n\geq 71}$ die Abschätzungsfunktion ${\displaystyle f(n)=(n+1)!}$ nehmen kann, und gab eine nahezu vollständige Beschreibung des Verhaltens für kleine ${\displaystyle n}$.[5]

Einzelnachweise

1. Jordan, J. Reine Angew. Math., Band 84, 1878, S. 89–215
2. Charles W. Curtis, Irving Reiner: Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, AMS Chelsea Publishing (1962), ISBN 0-8218-4066-5, Theorem (36,14).
3. Charles W. Curtis, Irving Reiner: Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, AMS Chelsea Publishing (1962), ISBN 0-8218-4066-5, Ende des Kapitels V.36: Theorems of Jordan, Burnside, and Schur on Linear Groups.
4. A. Speiser: Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, mit Anwendungen auf algebraische Zahlen und Gleichungen sowie auf die Krystallographie, New York: Dover Publications (1945), Seiten 216–220.
5. M. J. Collins: On Jordan’s theorem for complex linear groups, Journal of Group Theory (2007), Band 10 (4), Seiten 411–423.