Satz von Jordan-Dickson

In d​er Gruppentheorie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, i​st der Satz v​on Jordan-Dickson e​in Lehrsatz über d​ie Einfachheit projektiver linearer Grupen über endlichen Körpern. Er i​st nach Camille Jordan u​nd Leonard Dickson benannt.

Satz

Sei ${\displaystyle K}$ ein endlicher Körper und ${\displaystyle n\geq 3}$ oder ${\displaystyle n=2,K\not =F_{2},F_{3}}$.

Dann ist die projektive spezielle lineare Gruppe ${\displaystyle PSL_{n}(K)}$ eine einfache Gruppe.

Einfache Gruppen vom Lie-Typ und exzeptionelle Isomorphismen

Die Gruppen ${\displaystyle PSL(n,F_{q})}$ mit ${\displaystyle (n,q)\not =(2,2),(2,3)}$ sind die einfachen Gruppen vom Lie-Typ. Bis auf wenige Ausnahmen sind sie weder untereinander noch zu alternierenden Gruppen isomorph. Die Ausnahmen sind die folgenden:

${\displaystyle PSL_{2}(F_{4})\simeq PSL_{2}(F_{5})\simeq A_{5}}$

${\displaystyle PSL_{2}(F_{7})\simeq PSL(3,F_{2})}$

${\displaystyle PSL_{2}(F_{9})\simeq A_{6}}$

${\displaystyle PSL_{4}(F_{2})\simeq A_{8}}$.

Literatur

• O. Bogopolski: Introduction to group theory. Translated from the Russian. With a new chapter. EMS Textbooks in Mathematics. Zürich: European Mathematical Society (2008), ISBN 978-3-03719-041-8/hbk.