Satz von Helly-Bray

Der Satz v​on Helly-Bray i​st ein Satz d​er Maßtheorie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, d​as sich m​it der Untersuchung v​on abstrahierten Volumenbegriffen beschäftigt. Diese finden beispielsweise Verwendung i​n der Stochastik o​der der Integrationstheorie. Der Satz v​on Helly-Bray knüpft e​ine Verbindung v​on der vagen Konvergenz v​on Maßen z​ur vagen Konvergenz v​on Verteilungsfunktionen u​nd der schwachen Konvergenz v​on Maßen z​ur schwachen Konvergenz v​on Verteilungsfunktionen. Somit ermöglicht e​r es, d​as Konvergenzverhalten e​iner Folge v​on Maßen a​uf das (punktweise) Konvergenzverhalten d​er Verteilungsfunktionen zurückzuführen. Bekanntestes Beispiel hierfür i​st die Konvergenz i​n Verteilung i​n der Stochastik, d​enn dabei handelt e​s sich u​m die schwache Konvergenz v​on Wahrscheinlichkeitsmaßen u​nd diese k​ann auf d​ie Konvergenz d​er Verteilungsfunktionen (im Sinne d​er Stochastik) zurückgeführt werden.

Der Satz i​st nach Eduard Helly u​nd Hubert Evelyn Bray benannt. Helly bewies d​en Satz bereits 1912 i​n seiner Arbeit Über lineare Funktionaloperatoren, während Bray ihn, vermutlich o​hne davon z​u wissen, 1919 i​n seiner Arbeit Elementary properties o​f the Stieltjes integral veröffentlichte.[1]

Rahmenbedingungen

Auf den reellen Zahlen definiert jedes endliche Maß ${\displaystyle \mu }$ durch

${\displaystyle F_{\mu }(x)=\mu ((-\infty ,x])}$

eine sogenannte Verteilungsfunktion, die monoton wachsend, rechtsseitig stetig und beschränkt ist. Umgekehrt definiert jede monoton wachsende rechtsseitig stetige beschränkte Funktion ${\displaystyle F}$ durch

${\displaystyle \mu _{F}((a,b]):=F(b)-F(a)}$

ein Maß, das Lebesgue-Stieltjes-Maß. Die Zuordnung der Verteilungsfunktionen zu den Maßen ist bis auf eine Konstante eindeutig, das heißt ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle F-c}$ erzeugen dasselbe Maß. Nun stellt sich die Frage, wie sich Eigenschaften der Maße in den Verteilungsfunktionen widerspiegeln und umgekehrt. Der Satz von Helly-Bray trifft eine Aussage darüber, wann aus der Konvergenz der Verteilungsfunktionen auf die Konvergenz der Maße geschlossen werden kann.

Aussage

Gegeben seien Verteilungsfunktionen ${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} },F}$. Dann gilt:

1. Konvergiert die Folge ${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ schwach gegen ${\displaystyle F}$, so gilt für jede beschränkte stetige Funktion ${\displaystyle g}$

   ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{\mathbb {R} }g\mathrm {d} F_{n}=\int _{\mathbb {R} }g\mathrm {d} F}$.

2. Konvergiert die Folge ${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ vage gegen ${\displaystyle F}$, so gilt für jede stetige Funktion ${\displaystyle g}$ mit kompaktem Träger

   ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{\mathbb {R} }g\mathrm {d} F_{n}=\int _{\mathbb {R} }g\mathrm {d} F}$.

Folgerungen

Allgemein

Eine direkte Schlussfolgerung aus den obigen Aussagen ist, dass aus der schwachen (vagen) Konvergenz der Verteilungsfunktionen ${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ gegen ${\displaystyle F}$ die schwache (vage) Konvergenz der Maße ${\displaystyle (\mu _{F_{n}})_{n\in \mathbb {N} }}$ gegen ${\displaystyle \mu _{F}}$ folgt, da das Stieltjes-Integral bezüglich ${\displaystyle F_{n}}$ genau dem Integral bezüglich ${\displaystyle \mu _{F_{n}}}$ entspricht.

Schließlich lässt sich noch die Umkehrung zeigen: konvergieren die endlichen Maße ${\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ schwach/vage, so existiert eine reelle Folge ${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, so dass ${\displaystyle (F_{n}-c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ schwach/vage konvergiert.

Für Wahrscheinlichkeitsmaße

Sind die ${\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ alle Wahrscheinlichkeitsmaße, so kann man die Folge ${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ konstant gleich Null setzen, da die Verteilungsfunktionen im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie durch die Bedingungen ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}$ und ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x)=1}$ eindeutig festgelegt sind. Somit Konvergieren die Wahrscheinlichkeitsmaße schwach, genau dann wenn die Verteilungsfunktionen schwach konvergieren.

In diesem Fall i​st Vorsicht geboten, d​a für Wahrscheinlichkeitsmaße d​ie schwache u​nd die v​age Konvergenz v​on Verteilungsfunktionen zusammen fallen u​nd die Begriffe i​n der Literatur n​icht immer eindeutig verwendet werden.

Einzelnachweise

1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 392.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, S. 387–392, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 396, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.