Satz von Hardy und Ramanujan

Der Satz von Hardy und Ramanujan aus der Zahlentheorie besagt, dass die Anzahl verschiedener Primfaktoren ${\displaystyle \omega (n)}$ einer ganzen Zahl ${\displaystyle n}$ die normale Größenordnung ${\displaystyle \log(\log(n))}$ hat. Der Satz wurde 1917 von Godfrey Harold Hardy und S. Ramanujan bewiesen.[1]

Eine arithmetische Funktion ${\displaystyle f(n)}$ hat die normale Größenordnung ${\displaystyle g(n)}$, wenn für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ gilt

${\displaystyle (1-\varepsilon )g(n)\leq f(n)\leq (1+\varepsilon )g(n)}$

für fast alle n, das heißt, der Anteil der ${\displaystyle n<x}$, für die die Ungleichung nicht gilt, geht für ${\displaystyle x\to \infty }$ gegen null.[2]

Genauer gilt:[2]

Die Anzahl der ${\displaystyle n\leq x}$, für die

${\displaystyle |\omega (n)-\log(\log(n))|>{(\log(\log(n)))}^{{\frac {1}{2}}+\delta }}$

gilt, ist für jedes ${\displaystyle \delta >0}$ von der Ordnung ${\displaystyle o(x)}$ (mit den Landau-Symbolen, das heißt der Anteil der ${\displaystyle n\leq x}$, für die die Ungleichung gilt, verschwindet asymptotisch für ${\displaystyle x\to \infty }$).

Der Beweis findet s​ich im Zahlentheorie-Lehrbuch v​on Hardy u​nd Wright.[3] Einen vereinfachten Beweis g​ab Pál Turán 1934.[4] Turán erweiterte d​en Satz a​uf weitere s​tark additive, arithmetische Funktionen.

Hubert Delange bewies 1953,[5] dass ${\displaystyle \omega (n)}$ im Wesentlichen eine gaußsche Normalverteilung besitzt, was auch Gegenstand des Satzes von Erdős-Kac ist.[6]

Der Satz gilt auch für die Funktion ${\displaystyle \Omega (n)}$, bei der die Primfaktoren mit ihrer Multiplizität summiert werden, d. h. ${\displaystyle \Omega (n)}$ ist die Anzahl der Faktoren der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle n}$.

Einzelnachweise

1. Hardy, Ramanujan: The normal number of prime factors of a number n. In: Quarterly Journal of Mathematics. Band 48, 1917, S. 76–92.
2. Hardy, Wright: An Introduction to number theory. Oxford University Press, 1975, S. 356. Übersetzung: Einführung in die Zahlentheorie. Oldenbourg, München 1958, S. 404.
3. Hardy, Wright: Einführung in die Zahlentheorie. Oldenbourg, München 1958, S. 405.
4. Pál Turán: On a theorem of Hardy and Ramanujan. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 9, 1934, S. 274–276.
5. Delange, Compte Rend. Acad. Sci. Paris, Band 237, 1953, S. 543–544. Nach Halberstam: Über additive zahlentheoretische Funktionen. J. Reine Angewandte Mathematik, Band 195, 1955, S. 210, SUB Göttingen.
6. Erdös, Kac, Am. J. Math., Band 38, 1940, S. 738–742, und Alfred Renyi, Pal Turan: On a theorem of Erdös-Kac. Acta Arithmetica, Band 4, 1958, S. 71–84, Digitalisat.