Satz von Gauß-Lucas

Der mathematische Satz von Gauß-Lucas gibt eine Beziehung zwischen den Nullstellen eines Polynoms ${\displaystyle P}$ und dessen Ableitung ${\displaystyle P'}$ an. Die Menge der Nullstellen eines Polynoms ist eine Menge von Punkten in der komplexen Ebene. Der Satz zeigt, dass die Nullstellen der Ableitung ${\displaystyle P'}$ in der konvexen Hülle der Nullstellen von ${\displaystyle P}$ liegen. Der Satz von Gauß-Lucas ist nach Carl Friedrich Gauß und Félix Lucas benannt.

Nullstellen eines Polynoms (schwarz) und die Nullstellen seiner Ableitung (rot) in der komplexen Zahlenebene
${\displaystyle {\begin{aligned}p(z)=&\quad z^{7}+\left(-38-12\;i\right)\;z^{6}\\&+\left(556+390\;i\right)\;z^{5}\\&+\left(-3930-5198\;i\right)\;z^{4}\\&+\left(11595+36880\;i\right)\;z^{3}\\&+\left(15008-140406\;i\right)\;z^{2}\\&+\left(-166180+234010\;i\right)\;z\\&[phone]\;i\end{aligned}}}$${\displaystyle {\begin{aligned}p'(z)=&\quad 7\;z^{6}+\left(-228-72\;i\right)\;z^{5}\\&+\left(2780+1950\;i\right)\;z^{4}\\&+\left(-15720-20792\;i\right)\;z^{3}\\&+\left(34785+110640\;i\right)\;z^{2}\\&+\left(30016-280812\;i\right)\;z\\&-166180+234010\;i\end{aligned}}}$

Der Satz von Gauß-Lucas

Sei ${\displaystyle P}$ eine Polynomfunktion mit komplexen Koeffizienten und sei ${\displaystyle P^{\prime }}$ die Ableitung von ${\displaystyle P}$. Dann liegen alle Nullstellen von ${\displaystyle P^{\prime }}$ in der konvexen Hülle der Nullstellen von ${\displaystyle P}$.

Geschichte

Der Satz w​urde erstmals v​on Carl Friedrich Gauß 1836[1] niedergeschrieben, jedoch e​rst 1879 v​on Félix Lucas bewiesen[2].

Stärkere Aussage

Die Nullstellen von ${\displaystyle P'}$ liegen sogar in der konvexen Hülle der Punkte

${\displaystyle \omega _{jk}={\frac {z_{j}+(n-1)z_{k}}{n}}}$

mit ${\displaystyle j\,,k=1,\ldots ,n}$ und ${\displaystyle j\neq k}$, wobei ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ die ${\displaystyle n}$ Nullstellen von ${\displaystyle P}$ sind.[3]

Einzelnachweise

1. C.F. Gauß: Werke, Band 3, Göttingen 1866, S. 120:112
2. F. Lucas: Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations. in: Comptes Rendus de l'Académie des Sciences (89), Paris 1979, S. 224–226
3. W. Specht: Eine Bemerkung zum Satze von Gauß-Lucas, in: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (62), 1959, S. 85–92

Siehe auch

• Satz von Marden

Literatur

• Craig Smorynski: MVT: A Most Valuable Theorem. Springer, 2017, ISBN 978-3-319-52956-1, S. 411–414

Weblinks

• Lucas–Gauss Theorem von Bruce Torrence, des Wolfram Demonstrations Projects.
• Satz von Gauss-Lucas interaktiv