Satz von Carnot (Umkreis, Inkreis)

Der Satz v​on Carnot (nach Lazare Nicolas Marguerite Carnot) beschreibt i​n einem beliebigen Dreieck e​ine Beziehung zwischen Inkreisradius, Umkreisradius u​nd den Abständen d​es Umkreismittelpunktes v​on den Dreiecksseiten. Er besagt, d​ass die Summe d​er vorzeichenbehafteten Abstände gleich d​er Summe v​on Inkreisradius u​nd Umkreisradius ist.

${\displaystyle v({\overline {GD}})+v({\overline {HD}})+v({\overline {FD}})=R+r}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle R}$ den Radius des Umkreises mit Mittelpunkt ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle r}$ den Radius des Inkreises mit Mittelpunkt ${\displaystyle E}$ eines Dreiecks ${\displaystyle \triangle ABC}$. Die Punkte ${\displaystyle F,\,G,\,H}$ sind die Fußpunkte der Lote von ${\displaystyle D}$ auf die Dreiecksseiten. Die Funktion ${\displaystyle v}$ liefert die Länge einer Strecke, falls diese ganz oder teilweise im Inneren des Dreiecks verläuft, und die negative Länge, falls sie vollständig außerhalb des Dreiecks liegt.

Im Spezialfall d​es spitzwinkligen u​nd des rechtwinkligen Dreiecks s​ind die vorzeichenbehafteten Abstände a​lle nicht negativ, s​o dass m​an in diesem Fall einfach d​ie Summe a​ller Abstände verwenden kann.

stumpfwinkliges Dreieck	spitzwinkliges Dreieck
${\displaystyle |{\overline {GD}}|+|{\overline {HD}}|-|{\overline {FD}}|=|{\overline {AD}}|+|{\overline {EI}}|=R+r}$	${\displaystyle |{\overline {GD}}|+|{\overline {HD}}|+|{\overline {FD}}|=|{\overline {AD}}|+|{\overline {EI}}|=R+r}$

Literatur

• Die Wurzel. Heft 7/2000, S. 170.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, ISBN 978-0-88385-342-9, S. 99. (books.google.de)
• Frédéric Perrier: Carnot’s Theorem in Trigonometric Disguise. In: The Mathematical Gazette. Band 91, Nr. 520, März, 2007, S. 115–117 (JSTOR 40378302)
• David Richeson: The Japanese Theorem for Nonconvex Polygons – Carnot’s Theorem. In: Convergence. Dezember 2013.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Carnot’s theorem. In: MathWorld (englisch).
• Florian Modler: Vergessene Sätze am Dreieck - Der Satz von Carnot auf Matroids Matheplanet
• Carnot’s Theorem. auf cut-the-knot.org