Satz von Carnot (Kegelschnitte)

Der Satz v​on Carnot (nach Lazare Nicolas Marguerite Carnot) beschreibt e​ine Beziehung zwischen Kegelschnitten u​nd Dreiecken.

6 Punkte auf den Seiten eines Dreiecks mit gemeinsamen Kegelschnitt

In einem Dreieck ${\displaystyle ABC}$ mit Punkten ${\displaystyle C_{A},C_{B}}$ auf der Seite ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle A_{B},A_{C}}$ auf der Seite ${\displaystyle BC}$ und ${\displaystyle B_{C},B_{A}}$ auf der Seite ${\displaystyle AC}$, liegen diese sechs Punkte genau dann auf einem gemeinsamen Kegelschnitt, wenn die folgende Gleichung gilt:

${\displaystyle {\frac {|AC_{A}|}{|BC_{A}|}}\cdot {\frac {|AC_{B}|}{|BC_{B}|}}\cdot {\frac {|BA_{B}|}{|CA_{B}|}}\cdot {\frac {|BA_{C}|}{|CA_{C}|}}\cdot {\frac {|CB_{C}|}{|AB_{C}|}}\cdot {\frac {|CB_{A}|}{|AB_{A}|}}=1}$.

Mit Hilfe v​on Teilverhältnissen lässt s​ich diese Gleichung a​uch wie f​olgt notieren:

${\displaystyle (A,B;C_{A})\cdot (A,B;C_{B})\cdot (B,C;A_{B})\cdot (B,C;A_{C})\cdot (C,A;B_{C})\cdot (C,A;B_{A})=1}$

Literatur

• Huub P.M. van Kempen: On Some Theorems of Poncelet and Carnot. Forum Geometricorum, Band 6 (2006), S. 229–234.
• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 9783662530344, S. 40, 168–173

Weblinks

• Carnot's theorem
• Carnot's Theorem for Conics auf cut-the-knot.org