Satz vom Dreizack

Der Satz v​om Dreizack (nach d​en russischen Bezeichnungen лемма о трезубце (wörtlich: Satz über d​as Dreizack)[1][2] u​nd теорема трилистника (wörtlich: Satz v​om Trillium)[3]) i​st eine Aussage a​us der Elementargeometrie, d​ie eine Eigenschaft v​on Umkreis u​nd Inkreis e​ines Dreiecks beschreibt.

Satz vom Dreizack:
Die drei roten Strecken sind gleich lang:
${\displaystyle |DA|=|DI|=|DC|}$.

In einem Dreieck ${\displaystyle ABC}$ sei ${\displaystyle I}$ der Mittelpunkt seines Inkreises und ${\displaystyle D}$ der Schnittpunkt von ${\displaystyle BI}$ (Winkelhalbierende in ${\displaystyle B}$) mit seinem Umkreis, dann gelten die folgenden äquivalenten Aussagen:

• Die Strecken ${\displaystyle DA}$, ${\displaystyle DI}$ und ${\displaystyle DC}$ sind gleich lang, das heißt ${\displaystyle |DA|=|DI|=|DC|}$.
• ${\displaystyle A,I,C}$ liegen auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt ${\displaystyle D}$ ist. Insbesondere liegt damit der Mittelpunkt des Kreises durch ${\displaystyle A,I}$ und ${\displaystyle C}$ auf dem Umkreis des Dreiecks ${\displaystyle ABC}$.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Incenter-Excenter Circle. In: MathWorld (englisch).
• A Property of Circle Through the Incenter auf cut-the-knot.org
• Midpoints of the Lines Joining In- and Excenters auf cut-the-knot.org

Einzelnachweise

1. Р. Н. Карасёв, В. Л. Дольников, И. И. Богданов, А. В. Акопян: Задачи для школьного математического кружка (PDF), S. 4.
2. 6. Лемма о трезубце (PDF) СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова – школа им. А.Н. Колмогорова. 29. Oktober 2014.
3. И. А. Кушнир: Это открытие – золотой ключ Леонарда Эйлера. (PDF; 186 kB) Ф7 (Теорема трилистника), S. 34; Beweis auf S. 36