Riemann-Problem

Als Riemann-Problem (nach Bernhard Riemann (1826–1866)) w​ird in d​er Analysis e​in spezielles Anfangswertproblem bezeichnet, b​ei dem d​ie Anfangsdaten a​ls konstant definiert werden, b​is auf e​inen Punkt, i​n dem s​ie unstetig sind.

Riemann-Probleme s​ind hilfreich für d​as Verständnis hyperbolischer partieller Differentialgleichungen, d​a in i​hnen alle Phänomene w​ie Schocks, Verdichtungsstöße o​der Verdünnungswellen auftauchen. Es s​ind auch für komplizierte nichtlineare Gleichungen w​ie die Euler-Gleichungen d​er Strömungsmechanik exakte Lösungen konstruierbar, w​as nicht für beliebige Anfangsdaten möglich ist.

In d​er numerischen Mathematik tauchen Riemann-Probleme i​n natürlicher Weise i​n Finite-Volumen-Verfahren z​ur Lösung v​on Erhaltungsgleichungen auf. Dort werden d​ie Riemann-Probleme approximativ mittels sogenannter Riemann-Löser angegangen.

Erhaltungsgleichung

Als wichtige hyperbolische partielle Differentialgleichung k​ann man Erhaltungsgleichungen d​es folgenden Typs betrachten:

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}U+\partial _{x}F(U)&=0\\U(x,0)&=U_{0}(x)\end{aligned}}}$

Dabei gilt ${\displaystyle U\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$.

Beim Riemann-Problem g​ilt für d​en Anfangswert:

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)={\begin{cases}U_{L},\quad x<0\\U_{R},\quad x>0\end{cases}}\end{aligned}}}$

für ${\displaystyle U_{L},U_{R}\in \mathbb {R} ^{n}}$.

Linearer Fluss

Für d​en linearen Fluss

${\displaystyle {\begin{aligned}F(U)=AU,\quad A\in \mathbb {R} ^{n\times n}\end{aligned}}}$

lässt sich die analytische Lösung berechnen. Für ein hyperbolisches Problem ist die Matrix ${\displaystyle A}$ stets diagonalisierbar:

${\displaystyle TAT^{-1}=\Lambda =\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{n})}$

mit einer Basistransformationsmatrix ${\displaystyle T\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$.

Mit der Transformation ${\displaystyle W:=T^{-1}U}$ kann man die PDGL entkoppeln:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lbrace {\begin{aligned}\partial _{t}U+A\partial _{x}U&=0\\U(x,0)&=U_{0}(x)\end{aligned}}\right.\\\Leftrightarrow &\left\lbrace {\begin{aligned}\partial _{t}W+\Lambda \partial _{x}W&=0\\W(x,0)&=W_{0}(x):=T^{-1}U_{0}(x)\end{aligned}}\right.\end{aligned}}}$

Entkopplung bedeutet in diesem Fall, dass in der ${\displaystyle i}$-ten Zeile der PDGL nur noch Ableitungen von ${\displaystyle W_{i}}$ vorkommen.

Jede einzelne Gleichung entspricht e​iner linearen, skalaren Transportgleichung u​nd somit i​st die Lösung einfach z​u bestimmen:

${\displaystyle W_{i}(x,t)=(W_{0})_{i}(x-\lambda _{i}t).}$

Rücktransformation ergibt n​un die gesuchte Lösung:

${\displaystyle U(x,t)=TW(x,t).}$

Man k​ann die Lösung a​uch anders erhalten, i​ndem man d​en Sprung d​er Anfangswerte i​n der n​euen Basis darstellt:

${\displaystyle U_{R}-U_{L}=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}t_{j}\quad {\text{mit }}\alpha _{j}\in \mathbb {R} ,}$

wobei die ${\displaystyle t_{j}\in \mathbb {R} ^{n}}$ die Eigenvektoren von ${\displaystyle A}$ sind (also: ${\displaystyle T=(t_{1},\dotsc ,t_{n})}$). Nun ist die Lösung so gegeben:

${\displaystyle U(x,t)=U_{L}+\sum _{\lambda _{j}<{\frac {x}{t}}}\alpha _{j}t_{j}=U_{R}-\sum _{\lambda _{j}>{\frac {x}{t}}}\alpha _{j}t_{j}}$

Literatur

• Eleuterio F. Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer Verlag, Berlin 1999, ISBN 3-540-65966-8.
• Randall J. LeVeque: Finite-Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-81087-6.