Richtungsfeld

Ein Richtungsfeld i​st integraler Bestandteil e​iner Differentialgleichung, e​s definiert d​ie Form d​er Lösungskurve. Weiterhin bildet e​s als optische Interpretation d​ie Grundlage für Näherungsverfahren w​ie beispielsweise d​em Euler-Verfahren.

Die Lösungen e​iner Differentialgleichung erster Ordnung e​iner Skalarfunktion y(x) können i​n einem 2-dimensionalen Raum m​it x i​n horizontaler u​nd y i​n vertikaler Richtung gezeichnet werden. Mögliche Lösungen s​ind Funktionen y(x), d​ie durch Kurven gezeichnet werden. Manchmal i​st es schwierig, d​ie Differentialgleichung analytisch z​u lösen. Dann k​ann man jedoch d​ie Tangenten d​er Funktionskurven z. B. a​uf einem regelmäßigen Gitter zeichnen. Die Tangenten berühren d​ie Funktionen a​n den Rasterpunkten.

Mathematische Beschreibung

Ein Richtungsfeld einer Differentialgleichung (erster Ordnung) ${\displaystyle y'(x)=F(x,y(x))}$ wird gebildet, indem man jedem Punkt ${\displaystyle (x,y)}$ in der Ebene einen Vektor mit Steigung ${\displaystyle F(x,y)}$ zuordnet. Dieser gibt die Richtung an, in der die Graphen möglicher Lösungen der Differentialgleichung, die durch den Punkt ${\displaystyle (x,y)}$ gehen, verlaufen.

Praktisch heißt das, dass in einem Koordinatensystem beliebige Punkte ${\displaystyle P(x,y)}$ gewählt werden und dazu die Steigung durch Einsetzen in die Differentialgleichung berechnet wird. (Denn die Ableitung ${\displaystyle y'}$ von ${\displaystyle y}$ entspricht gerade der Steigung der Funktion.)

Zu ${\displaystyle y'(x)=F(x,y(x))}$ lautet die Gleichung der einzelnen Tangentenstücke der Länge ${\displaystyle l}$:

${\displaystyle {\vec {v}}(x,y;\lambda )={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\frac {\lambda }{\sqrt {1+F^{2}(x,y)}}}{\begin{pmatrix}1\\F(x,y)\end{pmatrix}}\quad {\text{mit}}\quad \lambda =\left[-{\frac {l}{2}},{\frac {l}{2}}\right]}$

Hilfreich bei der grafischen Darstellung sind häufig auch die Isoklinen, gegeben durch die Gleichung ${\displaystyle F(x,y)=\mathrm {const} }$, also die Linien gleicher Steigung.

Beispiel

Richtungsfeld für ${\displaystyle y'=y-x}$

Die Differentialgleichung ${\displaystyle y'(x)=y(x)-x}$ besitzt in allen Punkten ${\displaystyle (C,C)}$ den Steigungwert 0, da dieser gegeben ist durch ${\displaystyle y-x=C-C=0}$. Im Punkt ${\displaystyle P_{1}(x,y)=(1,2)}$ beträgt er ${\displaystyle 2-1=1}$, im Punkt ${\displaystyle P_{2}(x,y)=(-4,2)}$ dann ${\displaystyle 2-(-4)=6}$. Mit genügend vielen Punkten bekommt man ein Richtungsfeld, in dem Scharen von möglichen Lösungen durch ihre Funktionstangenten ansatzweise sichtbar werden.

Octave-Script für Richtungsfeld

Das Script richtungsfeld.m ist für GNU Octave geschrieben und zeichnet ein Richtungsfeld für DGL ${\displaystyle {\dot {y}}(x)=y(x)-x}$, eine Differentialgleichung ersten Grades.

% Inhalt des Files ''richtungsfeld.m''
function richtungsfeld(dgl)
% dgl ist die erste Ableitung von y nach x und ist i.A. eine Funktion von x und y
% Ausschnitt und Abstand zwischen den Vektoren
y = -5:.5:5; x = -5:.5:5;
for y_n = 1:length(y)
 for x_n = 1:length(x)
   len = sqrt( dgl(y(y_n), x(x_n))^2 + 1 ); % Länge des Vektors für Normierung
   dx(y_n,x_n) = 1 / len;                   % Länge des Vektors entlang der Abszisse
   dy(y_n,x_n) = dgl(y(y_n), x(x_n)) / len; % Länge des Vektors entlang der Ordinate
 end
end 
h=quiver(x, y, dx, dy,0.5,"r","linewidth",1); % Vektoren zeichnen 
set (h, "maxheadsize", 0.1); 
xlabel ("x");
ylabel("y");
print('field.svg', '-dsvg')  % Plot als svg-Datei exportieren
% Ende des Files

- Jetzt r​ufe m​an das File w​ie folgt innerhalb e​iner Octave Session auf:

source("richtungsfeld.m")
dgl = @(y, x) y-x   % Funktionsdefinition 
richtungsfeld(dgl)

Siehe auch

• Trajektorie (Mathematik)
• Phasenraum
• Vektorfeld

Literatur

• W. Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine Einführung. 7. Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-67642-2
• F. Reinhardt, H. Soeder: dtv-Atlas Mathematik. Band 2. 11. Auflage. Deutscher Taschenbuch Verlag, 1998, ISBN 3-423-03008-9