Prinzip der großen Abweichungen

Das Prinzip d​er großen Abweichungen (kurz LDP v​on Large Deviation Principle) i​st ein Begriff a​us der Theorie d​er großen Abweichungen. Es handelt s​ich um e​ine Charakterisierung d​es Grenzverhaltens e​iner Folge v​on Wahrscheinlichkeitsmaßen i​n Relation z​u einer Rate-Funktion (siehe Konvergenzrate).

Definition

Rate-Funktion

Sei ${\displaystyle X}$ ein Topologischer Raum, der Hausdorff ist mit borelscher σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. Eine Funktion ${\displaystyle I:X\to [0,\infty ]}$ heißt Rate-Funktion (auch Cramér-Funktion genannt) falls folgendes gilt:

1) ${\displaystyle I}$ ist unterhalbstetig, d. h. es gilt ${\displaystyle K_{l}=\{x\in X:I(x)\leq l\}}$ ist geschlossen für jedes ${\displaystyle l<\infty }$.

Man spricht v​on einer guten Rate-Funktion, f​alls zusätzlich gilt:

2) ${\displaystyle K_{l}}$ sind kompakt.

Prinzip der großen Abweichungen

Sei ${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })}$ eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf ${\displaystyle X}$. Weiter sei ${\displaystyle \lambda (\varepsilon ):(0,\infty )\to \mathbb {R} }$ so dass ${\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0}\lambda (\varepsilon )=\infty }$. Dann gilt für ${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })}$ das Prinzip der großen Abweichungen, falls eine Rate-Funktion ${\displaystyle I}$ auf ${\displaystyle X}$ existiert mit Rate ${\displaystyle \lambda (\varepsilon )}$, so dass folgendes gilt[1]

1) Für alle offenen ${\displaystyle O\subset X}$ gilt

${\displaystyle \liminf _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\lambda (\varepsilon )}}\log \mu _{\varepsilon }(O)\geq -\inf \limits _{x\in O}I(x)}$.

2) Für alle abgeschlossenen ${\displaystyle C\subset X}$ gilt

${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\lambda (\varepsilon )}}\log \mu _{\varepsilon }(C)\leq -\inf \limits _{x\in C}I(x)}$.

Einzelnachweise

1. Annals of Probability Volume 36, Number 2, Large deviations by S. R. S. Varadhan. Abgerufen am 3. Februar 2021.