Petersson-Skalarprodukt

In der Mathematik versteht man unter dem Petersson-Skalarprodukt ein bestimmtes Skalarprodukt auf dem Vektorraum der ganzen Modulformen. Eingeführt wurde dieses Skalarprodukt von Hans Petersson.

Definition

Es sei ${\displaystyle \mathbb {M} _{k}}$ der Vektorraum der ganzen Modulformen zum Gewicht ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle \mathbb {S} _{k}}$ der Vektorraum der Spitzenformen.

Die Abbildung ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle$ :\mathbb {S} _{k}\times \mathbb {S} _{k}\rightarrow \mathbb {C} } ,

${\displaystyle \langle f,g\rangle$ :=\int _{\mathrm {F} }f(\tau ){\overline {g(\tau )}}(\operatorname {Im} \tau )^{k}{\rm {d}}\nu (\tau )}

heißt Petersson-Skalarprodukt. Dabei ist

${\displaystyle \mathrm {F} =\{\tau \in \mathrm {H} \mid \left|\operatorname {Re} \tau \right|\leq {\frac {1}{2}},\left|\tau \right|\geq 1\}}$

der Fundamentalbereich der Modulgruppe ${\displaystyle \Gamma }$, und für ${\displaystyle \tau =x+iy}$ ist

${\displaystyle {\rm {d}}\nu (\tau )=y^{-2}{\rm {d}}x{\rm {d}}y}$

das hyperbolische Volumenelement. Man beachte, dass man formal auch für eine der beiden Komponente des Skalarprodukts eine ganze Modulformen aus ${\displaystyle \mathbb {M} _{k}}$ in die obige Formel einsetzen darf, weil das Integral auch dann noch konvergiert. Jedoch müssen in der Definition eines Skalarprodukts beide Komponenten aus demselben Vektorraum stammen, weshalb man das Petersson-Skalarprodukt üblicherweise in der obigen Form definiert.

Eigenschaften

Das Integral i​st absolut konvergent, u​nd das Petersson-Skalarprodukt i​st eine positiv definite Hermitesche Form.

Für die Hecke-Operatoren ${\displaystyle T_{n}}$ gilt

${\displaystyle \langle T_{n}f,g\rangle =\langle f,T_{n}g\rangle }$.

Damit lässt sich zeigen, dass der Vektorraum der Spitzenformen eine Orthonormalbasis aus simultanen Eigenformen zu den Hecke-Operatoren besitzt und dass die Fourier-Koeffizienten dieser Formen alle reell sind.

Literatur

• T.M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1990, ISBN 3-540-97127-0.
• M. Koecher, A. Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1998, ISBN 3-540-63744-3.
• S. Lang: Introduction to Modular Forms. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 2001, ISBN 3-540-07833-9.