Operatorproduktentwicklung

Als Operatorproduktentwicklung (OPE) w​ird in d​er Quantenfeldtheorie e​ine Methode bezeichnet, u​m ein Produkt v​on zwei Operatoren a​n unterschiedlichen Raumzeitpunkten a​ls Reihe v​on Operatoren a​n einem einzigen Raumzeitpunkt darzustellen. Die Koeffizienten dieser Operatoren s​ind Funktionen d​er Differenz beider Raumzeitpunkte u​nd heißen n​ach Kenneth Wilson Wilson-Koeffizienten. Mathematisch lautet d​ie Operatorproduktentwicklung:

${\displaystyle \lim _{x\to y}{\mathcal {O}}_{1}(x){\mathcal {O}}_{2}(y)=\sum _{n}C^{(n)}(x-y){\mathcal {O}}^{(n)}(y)}$

Die Operatoren ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{(n)}}$ enthalten dabei die Informationen über die Physik auf kurzen Abständen, die Koeffizienten ${\displaystyle C^{(n)}}$ die Information über die Physik auf großen Längenskalen.

Beispiel: Fermi-Wechselwirkung

Ein Anwendungsbeispiel für eine Operatorproduktentwicklung ist die (historische) Fermi-Wechselwirkung die eine Operatorproduktentwicklung für zwei geladene Dirac-Ströme ${\displaystyle j^{\mu }(x)={\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)}$ und einen massiven Photonenpropagator ${\displaystyle D_{\mu \nu }(x,y)=\int \mathrm {d} ^{4}p{\frac {\mathrm {i} g_{\mu \nu }}{\square +m_{W}^{2}}}e^{-\mathrm {i} p(x-y)}}$ darstellt. Dann gilt:

${\displaystyle j^{\mu }(x)D_{\mu \nu }j^{\nu }(y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{m_{W}^{2n}}}j^{\mu }(y)\square ^{n}j_{\mu }(y)}$

In der Fermi-Wechselwirkung ist diese Reihe nach dem ersten Summanden abgebrochen, da die Fermi-Theorie der schwachen Wechselwirkung für ${\displaystyle \square j=p^{2}j\ll m_{W}^{2}j}$ aufgestellt wurde.

Literatur

• Matthew D. Schwartz: Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press, New York 2014, ISBN 978-1-107-03473-0.