Noble Zahl

Als noble Zahlen bezeichnet man solche irrationalen Zahlen, deren unendliche Kettenbruchdarstellung ab irgendeiner Stelle nur noch Einsen enthält.[1]

Sie sind eng mit der Goldenen Zahl ${\displaystyle \Phi }$ verwandt und zeichnen sich dadurch aus, dass sie sich besonders schwer durch rationale Zahlen approximieren lassen. Noble Zahlen werden in der Theorie der dynamischen Systeme verwendet.

Die „nobelste“ Zahl

Der unendliche Kettenbruch für die Goldene Zahl ist:

${\displaystyle \Phi ={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)=1+{\frac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+...}}}}}}}}.}$

Die Goldene Zahl kann daher als die „nobelste“ Zahl bezeichnet werden – ihre Kettenbruchdarstellung enthält von Anfang an ausschließlich Einsen.

Die nobelsten Zahlen sind

• ${\displaystyle 1{,}618033988749895\ldots }$, ${\displaystyle 1{,}381966011250105\ldots }$, ${\displaystyle 1{,}276393202250021\ldots }$, ${\displaystyle 1{,}216542364659100\ldots }$, ${\displaystyle 1{,}177998211118427\ldots }$, ...
• ${\displaystyle 1{,}723606797749979\ldots }$, ${\displaystyle 1{,}419821271704536\ldots }$, ${\displaystyle 1{,}295685999407889\ldots }$, ${\displaystyle 1{,}228208068577583\ldots }$, ${\displaystyle 1{,}185805707042680\ldots }$, ...

Abzählbarkeit

Die Menge der noblen Zahlen ist eine Teilmenge der algebraischen Zahlen und daher abzählbar.

Ihre Abzählbarkeit ist auch anhand der Kettenbruchentwicklung leicht zu zeigen (rechts steht jeweils die Kurzschreibweise für einen regulären Kettenbruch):

Die Abbildung

${\displaystyle [1]\rightarrow [\Phi ]}$

${\displaystyle [a_{0}]\rightarrow [a_{0};\Phi ]\;\;(1\neq a_{0}\in \mathbb {Z} )}$

${\displaystyle [a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]\rightarrow [a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n},\Phi ]\quad (a_{0}\in \mathbb {Z} ;a_{k}\in \mathbb {N} _{>0}\ \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ 1\leq k\leq n;a_{n}\neq 1;n>0)}$

von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ auf die Menge der noblen Zahlen ist bijektiv.

Fast noble Zahlen

Als fast noble Zahlen werden solche reellen Zahlen im Intervall ${\displaystyle [0,1]}$ bezeichnet, deren Kettenbruchentwicklungen periodisch sind (die Periodenlänge sei mit ${\displaystyle p}$ bezeichnet) und für die gilt: nach jeweils ${\displaystyle p-1}$ Einsen folgt eine feste natürliche Zahl ${\displaystyle n>1}$. Für jede fast noble Zahl ${\displaystyle u}$ gilt daher

${\displaystyle u=[0;1,1,\ldots ,1,n,u^{-1}]}$.

Literatur und Weblinks

• Manfred Schroeder: Number theory in science and communication, 5. Auflage, Springer, 2009
• Eric W. Weisstein: Noble numbers und Near Noble Numbers auf MathWorld.

Einzelnachweise

1. Der Begriff stammt laut Caroline Series: The Geometry of Markoff Numbers, Math. Intell. 7 (1985) von I. C. Percival.