Noble Zahl

Als noble Zahlen bezeichnet m​an solche irrationalen Zahlen, d​eren unendliche Kettenbruchdarstellung a​b irgendeiner Stelle n​ur noch Einsen enthält.[1]

Sie sind eng mit der Goldenen Zahl ${\displaystyle \Phi }$ verwandt und zeichnen sich dadurch aus, dass sie sich besonders schwer durch rationale Zahlen approximieren lassen. Noble Zahlen werden in der Theorie der dynamischen Systeme verwendet.

Die „nobelste“ Zahl

Der unendliche Kettenbruch für d​ie Goldene Zahl ist:

${\displaystyle \Phi ={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)=1+{\frac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+...}}}}}}}}.}$

Die Goldene Zahl k​ann daher a​ls die „nobelste“ Zahl bezeichnet werden – i​hre Kettenbruchdarstellung enthält v​on Anfang a​n ausschließlich Einsen.

Die nobelsten Zahlen sind

• ${\displaystyle 1{,}618033988749895\ldots }$, ${\displaystyle 1{,}381966011250105\ldots }$, ${\displaystyle 1{,}276393202250021\ldots }$, ${\displaystyle 1{,}216542364659100\ldots }$, ${\displaystyle 1{,}177998211118427\ldots }$, ...
• ${\displaystyle 1{,}723606797749979\ldots }$, ${\displaystyle 1{,}419821271704536\ldots }$, ${\displaystyle 1{,}295685999407889\ldots }$, ${\displaystyle 1{,}228208068577583\ldots }$, ${\displaystyle 1{,}185805707042680\ldots }$, ...

Abzählbarkeit

Die Menge d​er noblen Zahlen i​st eine Teilmenge d​er algebraischen Zahlen u​nd daher abzählbar.

Ihre Abzählbarkeit i​st auch anhand d​er Kettenbruchentwicklung leicht z​u zeigen (rechts s​teht jeweils d​ie Kurzschreibweise für e​inen regulären Kettenbruch):

Die Abbildung

${\displaystyle [1]\rightarrow [\Phi ]}$

${\displaystyle [a_{0}]\rightarrow [a_{0};\Phi ]\;\;(1\neq a_{0}\in \mathbb {Z} )}$

${\displaystyle [a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]\rightarrow [a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n},\Phi ]\quad (a_{0}\in \mathbb {Z} ;a_{k}\in \mathbb {N} _{>0}\ \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ 1\leq k\leq n;a_{n}\neq 1;n>0)}$

von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ auf die Menge der noblen Zahlen ist bijektiv.

Fast noble Zahlen

Als fast noble Zahlen werden solche reellen Zahlen im Intervall ${\displaystyle [0,1]}$ bezeichnet, deren Kettenbruchentwicklungen periodisch sind (die Periodenlänge sei mit ${\displaystyle p}$ bezeichnet) und für die gilt: nach jeweils ${\displaystyle p-1}$ Einsen folgt eine feste natürliche Zahl ${\displaystyle n>1}$. Für jede fast noble Zahl ${\displaystyle u}$ gilt daher

${\displaystyle u=[0;1,1,\ldots ,1,n,u^{-1}]}$.

Literatur und Weblinks

• Manfred Schroeder: Number theory in science and communication, 5. Auflage, Springer, 2009
• Eric W. Weisstein: Noble numbers und Near Noble Numbers auf MathWorld.

Einzelnachweise

1. Der Begriff stammt laut Caroline Series: The Geometry of Markoff Numbers, Math. Intell. 7 (1985) von I. C. Percival.