Natürliche Operation

Die Hessenbergschen natürlichen Operationen, benannt n​ach Gerhard Hessenberg, s​ind mathematische Rechenoperationen für Ordinalzahlen u​nd benutzen wesentlich d​ie Cantorschen Normalformen d​er Operanden u​nd damit d​ie transfinite Arithmetik d​er Ordinalzahlen.

Cantorsche Normalform

Die Cantorsche Normalform einer Ordinalzahl ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ hat die Gestalt einer Summe von ${\displaystyle \omega }$ -Potenzen, deren Summanden nach fallender Größe geordnet und sämtlich ${\displaystyle \neq 0}$ sind:

${\displaystyle \alpha =\omega ^{\lambda _{m_{\alpha }}^{(\alpha )}}{\kappa _{m_{\alpha }}^{(\alpha )}}+\cdots +\omega ^{\lambda _{0}^{(\alpha )}}{\kappa _{0}^{(\alpha )}}=\sum _{i\leq m_{\alpha }}\ \omega ^{\lambda _{i}^{(\alpha )}}{\kappa _{i}^{(\alpha )}},}$

wobei die Exponenten ${\displaystyle \lambda _{0}^{(\alpha )}<\dots <\lambda _{m_{\alpha }}^{(\alpha )}\leq \alpha }$ selbst Ordinalzahlen sind und die Koeffizienten ${\displaystyle 0<\kappa _{0}^{(\alpha )},\dots ,\kappa _{m_{\alpha }}^{(\alpha )}<\omega }$ natürliche Zahlen.

Die Cantorsche Normalform der Ordinalzahl ${\displaystyle \alpha =0}$ ist die Summe mit dem einzigen Summanden ${\displaystyle 0=\omega ^{0}0}$ .

Natürliche Summe

Die natürliche Summe ${\displaystyle \alpha \oplus \beta }$ zweier Ordinalzahlen wird durch ihre Cantorsche Normalform festgelegt. Diese Cantorsche Normalform von ${\displaystyle \alpha \oplus \beta }$ ergibt sich aus den Cantorschen Normalformen von ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ dadurch, dass man deren beider Summanden formal zu einer neuen Summe zusammenfügt, dabei die Koeffizienten von Summanden mit gleicher ${\displaystyle \omega }$ -Potenz addiert, und schließlich diese Summanden wieder nach absteigenden ${\displaystyle \omega }$ -Potenzen ordnet.

Diese natürliche Addition ${\displaystyle \oplus }$ ist nicht nur assoziativ und echt monoton, wie die gewöhnliche Addition von Ordinalzahlen, sie ist auch kommutativ. Und die Ordinalzahl 0 ist wieder neutrales Element auch bei der natürlichen Addition.

Natürliches Produkt

Analog wird das natürliche Produkt ${\displaystyle \alpha \odot \beta }$ zweier Ordinalzahlen durch seine Cantorsche Normalform festgelegt. Diese Cantorsche Normalform von ${\displaystyle \alpha \odot \beta }$ ergibt sich aus den Cantorschen Normalformen von ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ dadurch, dass man diese beiden Summen formal ausmultipliziert, dabei das formale Produkt zweier Summanden ${\displaystyle \omega ^{\lambda _{i}^{(\alpha )}}{\kappa _{i}^{(\alpha )}}}$ und ${\displaystyle \omega ^{\lambda _{j}^{(\beta )}}{\kappa _{j}^{(\beta )}}}$ als Summanden ${\displaystyle \omega ^{({\lambda _{i}^{(\alpha )}\oplus \lambda _{j}^{(\beta )}})}{\kappa _{i}^{(\alpha )}\cdot \kappa _{j}^{(\beta )}}}$ versteht. Wichtig ist dabei, dass im ${\displaystyle \omega }$ -Exponenten dieses Summanden die natürliche Summe der ${\displaystyle \omega }$ -Exponenten seiner formalen Faktoren steht.

Schließlich werden alle diese Summanden wieder nach absteigenden ${\displaystyle \omega }$ -Potenzen geordnet und als Summe zusammengefasst.

Diese natürliche Multiplikation ${\displaystyle \odot }$ ist, wie die gewöhnliche Multiplikation von Ordinalzahlen, assoziativ und streng monoton bei natürlicher Multiplikation mit einem Faktor ${\displaystyle \neq 0}$ . Sie hat ${\displaystyle \alpha =0}$ als Nullelement und ${\displaystyle \alpha =1}$ als neutrales Element. Zusätzlich ist sie aber auch kommutativ und (vollständig) distributiv bezüglich der natürlichen Addition.

Damit bilden d​ie Ordinalzahlen hinsichtlich d​er Hessenbergschen natürlichen Operationen u​nd ihrer gewöhnlichen Wohlordnung e​inen geordneten kommutativen Ring m​it Einselement.

Beispiele

Es ist ${\displaystyle \omega \oplus 1=\omega +1}$ und sogar immer ${\displaystyle \alpha \oplus n=\alpha +n}$ für Ordinalzahlen ${\displaystyle \alpha }$ und natürliche Zahlen ${\displaystyle n<\omega }$ .

Es ist ${\displaystyle (\omega +2)\oplus (\omega +1)=\omega \cdot 2+3}$ und damit verschieden sowohl von ${\displaystyle (\omega +2)+(\omega +1)=\omega \cdot 2+1}$ als auch von ${\displaystyle (\omega +1)+(\omega +2)=\omega \cdot 2+2}$ .

Und es ist ${\displaystyle (\omega +1)\odot (\omega +2)=\omega ^{2}+\omega \cdot 3+2}$ und erneut verschieden sowohl von ${\displaystyle (\omega +1)\cdot (\omega +2)=\omega ^{2}+\omega \cdot 2+1}$ als auch von ${\displaystyle (\omega +2)\cdot (\omega +1)=\omega ^{2}+\omega +2}$ .

Literatur

• Heinz Bachmann: Transfinite Zahlen. Springer, 1967.
• Dieter Klaua: Allgemeine Mengenlehre. Akademie-Verlag, Berlin 1964.
• Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Warschau 1965, OCLC 500328243.
• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Set theory. North-Holland, 1976, OCLC 251672808.
• Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. 1914. Chelsea Publishing, New York 1949, OCLC 888238.