Methode von Laplace

Die Methode v​on Laplace i​st eine Technik, u​m Laplace-Integrale asymptotisch z​u approximieren, d​as heißt Integrale d​er Form

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t}$

näherungsweise zu lösen. Dabei können ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ auch als ${\displaystyle \infty }$ gewählt werden.

Je größer ${\displaystyle n}$ ist, desto besser funktioniert die Approximation. Ein Spezialfall dieser Integrale ist die Laplace-Transformation. Die Methode ist nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace benannt, der sie im Jahre 1774 publizierte.[1]

Eine Verallgemeinerung d​er Methode a​uf den komplexen Raum i​st die Methode d​es steilsten Anstiegs (englisch Method o​f steepest descent).

Aussage

Sei ${\displaystyle g\in C^{2}([a,b])}$ und es existiere ein striktes Minimum ${\displaystyle t_{0}\in (a,b)}$ (somit ${\displaystyle g'(t_{0})=0}$ und ${\displaystyle g''(t_{0})>0}$). Weiter gelte ${\displaystyle f(t_{0})\neq 0}$. Dann gilt

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t}{e^{-ng(t_{0})}f(t_{0}){\sqrt {\frac {2\pi }{ng''(t_{0})}}}}}=1}$

oder i​n der Sprache d​er asymptotischen Analysis

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t\sim e^{-ng(t_{0})}f(t_{0}){\sqrt {\frac {2\pi }{ng''(t_{0})}}},\quad {\text{wenn }}n\to \infty }$.

Herleitung

Die zugrundeliegende Idee i​st folgende:[2]

Der größte Beitrag zum Wert des Integrals stammt von den Punkten in der Umgebung ${\displaystyle U_{\varepsilon }(t_{0})}$.

Wir nehmen an, dass ${\displaystyle n}$ sehr groß ist, und schreiben das Integral um:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t&=e^{-ng(t_{0})}\int _{a}^{b}f(t)e^{-n\left[g(t)-g(t_{0})\right]}\mathrm {d} t\\&\approx e^{-ng(t_{0})}f(t_{0})\int _{t_{0}-\varepsilon }^{t_{0}+\varepsilon }e^{-n\left[g(t)-g(t_{0})\right]}\mathrm {d} t\end{aligned}}}$

Nun bildet man für ${\displaystyle g}$ die Taylorentwicklung um den Punkt ${\displaystyle t_{0}}$.

${\displaystyle g(t)=g(t_{0})+g'(t_{0})(t-t_{0})+{\frac {1}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}+{\mathcal {O}}((t-t_{0})^{3})}$

Somit können w​ir die Approximation machen

${\displaystyle {\begin{aligned}g(t)-g(t_{0})&\approx g'(t_{0})(t-t_{0})+{\frac {1}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}\\&={\frac {1}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}\end{aligned}}}$

Daraus folgt

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t\approx e^{-ng(t_{0})}f(t_{0})\int _{t_{0}-\varepsilon }^{t_{0}+\varepsilon }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}}\mathrm {d} t}$

Nun können wir das Ganze auf ein Gaußsches Integral auf ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ überführen, da die Werte sich exponentiell von ${\displaystyle t_{0}}$ entfernen.

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-ng(t_{0})}f(t_{0})\int _{t_{0}-\varepsilon }^{t_{0}+\varepsilon }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}}&\approx f(t_{0})e^{-ng(t_{0})}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}}\mathrm {d} t\\&=f(t_{0})e^{-ng(t_{0})}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})s^{2}}\mathrm {d} s\\&=f(t_{0})e^{-ng(t_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{ng''(t_{0})}}}\\\end{aligned}}}$

Quellen

1. Pierre-Simon Laplace: Mémoires de Mathématique et de Physique, Tome Sixième. In: Statistical Science. Institute of Mathematical Statistics, abgerufen am 21. Mai 2021.
2. Steve Cohn: Integral Asymptotics: Laplace’s Method. University of Nebraska-Lincoln, abgerufen am 21. Mai 2021.