Matrixkoeffizient

Als Matrixkoeffizienten bezeichnet m​an im mathematischen Gebiet d​er Darstellungstheorie gewisse z​u einer Gruppendarstellung assoziierte Funktionen a​uf der Gruppe.

Zum Beispiel k​ann man n​ach Wahl e​iner Basis i​m Darstellungsraum d​ie Darstellung d​urch den Gruppenelementen zugeordnete Matrizen beschreiben, d​eren einzelne Einträge Matrixkoeffizienten i​m Sinne d​er allgemeinen Definition sind.

Definition

Sei ${\displaystyle \rho \colon G\to GL(V)}$ eine Darstellung einer Gruppe ${\displaystyle G}$ auf einem ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Hilbertraum ${\displaystyle V}$ mit Skalarprodukt ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$.

Für je zwei Vektoren ${\displaystyle v,w\in V}$ definiert man den Matrixkoeffizienten ${\displaystyle c_{v,w}\colon G\to \mathbb {C} }$ durch

${\displaystyle c_{v,w}(g)=\langle \rho (g)v,w\rangle }$.

Rekonstruktion der Darstellung aus ihren Matrixkoeffizienten

Nach Wahl einer Basis ${\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i\in I}}$ von ${\displaystyle V}$ lässt sich jedes ${\displaystyle \rho (g)}$ für ${\displaystyle g\in G}$ aus den Matrixkoeffizienten

${\displaystyle \left\{c_{e_{i},e_{j}}(g)\colon i,j\in I\right\}}$

bestimmen.

Schur-Orthogonalität

Sei ${\displaystyle G}$ eine kompakte Gruppe mit Haarmaß ${\displaystyle dg}$, normiert auf ${\displaystyle \int _{G}dg=1}$, und sei ${\displaystyle \dim(V)<\infty }$. Dann ist

${\displaystyle \int _{G}f_{v_{1},w_{1}}(g){\overline {f_{v_{2},w_{2}}(g)}}\,dg={\frac {1}{\dim(V)}}\langle v_{1},w_{1}\rangle {\overline {\langle v_{2},w_{2}\rangle }}}$

für alle ${\displaystyle v_{1},w_{1},v_{2},w_{2}\in V}$.

Klassen von Darstellungen

Eine Darstellung heißt diskret, wenn alle Matrixkoeffizienten quadratisch integrierbar sind, also in ${\displaystyle L^{2}(G)}$ liegen. Sie heißt temperiert, wenn die Matrixkoeffizienten in ${\displaystyle L^{2+\epsilon }(G)}$ für ein ${\displaystyle \epsilon >0}$ liegen.