Lokalisierbarer Maßraum

Lokalisierbarkeit i​st in d​er Mathematik, genauer i​n der Maßtheorie, e​ine Eigenschaft, d​ie einem Maßraum zukommt.

Definition

Dabei heißt ein Maßraum ${\displaystyle (S,{\mathcal {A}},\mu )}$ lokalisierbar, wenn gilt: Ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}:=\{A\in {\mathcal {A}}:\mu (A)<\infty \}}$ und ${\displaystyle (g_{A})_{A\in {\mathcal {A}}_{0}}}$ eine Familie messbarer Funktionen ${\displaystyle g_{A}\colon A\to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle g_{A}|_{A\cap B}=g_{B}|_{A\cap B}}$ für alle ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ mit ${\displaystyle \mu (A),\mu (B)<\infty }$ so existiert eine lokal messbare Funktion ${\displaystyle g\colon S\to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle g|_{A}=g_{A}}$ für alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}_{0}}$.

Erläuterung

In e​inem lokalisierbaren Maßraum i​st es a​lso möglich, l​okal konsistent gegebene messbare Funktionen z​u einer (lokal) messbaren Funktion, d​ie auf d​em ganzen Raum definiert ist, zusammenzusetzen. Lokal bedeutet hierbei a​uf Mengen endlichen Maßes.

Eigenschaften

• Die vielleicht wichtigste Eigenschaft eines lokalisierbaren Maßraums ist vielleicht die, dass in lokalisierbaren Räumen der Dualraum des ${\displaystyle L_{1}}$ als der Raum der lokal messbaren, lokal im Wesentlichen beschränkten Funktionen beschrieben werden kann. Im Fall σ-endlicher Maßräume fällt dieser Raum, mit dem üblichen ${\displaystyle L_{\infty }}$ zusammen.

Literatur

• Ehrhard Behrends: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin u. a. 1987, ISBN 3-540-17850-3, Abschnitt IV.3, S. 184–192.