Lemma von Jordan

Das Lemma v​on Jordan (nach Marie Ennemond Camille Jordan) i​st ein Hilfsmittel d​er Funktionentheorie. Es w​ird zusammen m​it dem Residuensatz verwendet, u​m Integrale a​us der reellen Analysis z​u berechnen.

Aussage

Ist ${\displaystyle \alpha >0}$ und konvergiert in der oberen Halbebene ${\displaystyle g}$ gleichmäßig gegen Null für alle ${\displaystyle |z|\to \infty }$, dann gilt

${\displaystyle \int _{K_{R}}g(z)\,e^{i\alpha z}dz\to 0}$

für ${\displaystyle R\to \infty }$.

Dies gilt auch, wenn ${\displaystyle \alpha =0}$ ist und zusätzlich ${\displaystyle z\cdot g(z)}$ in der oberen Halbebene gleichmäßig gegen Null strebt. Völlig analog lässt sich das Lemma für die untere Halbebene formulieren.

Anwendung

Integrationsweg ${\displaystyle \gamma _{R}}$ als halbkreisförmige Kurve ${\displaystyle K_{R}}$, die durch das reelle Intervall [-R,R] geschlossen wird

Viele uneigentliche Integrale der Form ${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }f(z)\,dz}$ lassen sich, falls sie existieren, in der folgenden Weise berechnen: Man integriert ${\displaystyle f}$ auf einer geschlossenen halbkreisförmigen Kurve ${\displaystyle \gamma _{R}}$, die entsteht, wenn zuerst auf der reellen Achse von ${\displaystyle -R}$ nach ${\displaystyle R}$ und von dort im Halbkreisbogen ${\displaystyle K_{R}}$ zurück nach ${\displaystyle -R}$ integriert.

Man stellt fest, dass für ${\displaystyle R\to \infty }$ das Integral ${\displaystyle \textstyle \int _{K_{R}}f\,dz}$ verschwindet und somit

${\displaystyle \oint _{\gamma _{R}}fdz=\int _{[-R,R]}f\,dz+\int _{K_{R}}f\,dz{\xrightarrow[{R\to \infty }]{\ }}\int _{\mathbb {R} }f\,dz}$ gilt.

Nach d​em Residuensatz i​st dann

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f\,dz=\lim _{R\to \infty }\oint _{\gamma _{R}}fdz=2\pi i\sum _{\mathrm {Im} z>0}\mathrm {Res} f|_{z}}$.

Um dabei immer wiederkehrende Abschätzungen für Integrale der Form ${\displaystyle \textstyle \int _{K_{R}}g(z)\,e^{i\alpha z}dz}$ zu vermeiden, benutzt man das Lemma von Jordan.

Beispiele

1. Beispiel

Es sei ${\displaystyle g(z)={\tfrac {1}{1+z^{2}}}}$ und ${\displaystyle f(z)=g(z)\,e^{i\alpha z}}$. Hier ist das Jordan-Lemma anwendbar und es gilt

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{K_{R}}f(z)\,dz=0.}$

Also g​ilt für d​as Integral über d​ie reelle Achse

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(z)\,dz=2\pi i\,\mathrm {Res} f|_{i}=\pi \,e^{-\alpha }}$.

Spaltet man ${\displaystyle e^{i\alpha z}}$ mit Hilfe der Eulerschen Identität in Real- und Imaginärteil auf, so erhält man die Gleichheit

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos(\alpha x)}{1+x^{2}}}\,dx=\pi \,e^{-\alpha }}$.

2. Beispiel

Es sei ${\displaystyle g(z)={\tfrac {z}{1+z^{2}}}}$. Analog zum 1. Beispiel ist ${\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} }f(z)\,dz=2\pi i\,\mathrm {Res} f|_{i}=i\pi \,e^{-\alpha }}$ und somit

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x\sin(\alpha x)}{1+x^{2}}}\,dx=\pi \,e^{-\alpha }}$.

Beweis des Lemmas von Jordan

Das Integral ${\displaystyle \textstyle I_{R}:=\int _{K_{R}}g(z)\,e^{i\alpha z}\,dz}$ lässt sich nach Substitution ${\displaystyle z=R\,e^{i\varphi }}$ schreiben als ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\pi }g\left(Re^{i\varphi }\right)\,e^{i\alpha Re^{i\varphi }}\,R\,e^{i\varphi }\,i\,d\varphi }$. Abschätzung des Betrages nach oben ergibt

${\displaystyle |I_{R}|\leq R\,\varepsilon _{R}\int _{0}^{\pi }e^{-\alpha R\sin \varphi }\,d\varphi }$

mit ${\displaystyle \textstyle \varepsilon _{R}:=\max _{z\in K_{R}}|g(z)|}$. Daraus folgt

${\displaystyle |I_{R}|\leq 2R\,\varepsilon _{R}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-\alpha R\sin \varphi }\,d\varphi }$,

da der Integrand ${\displaystyle e^{-\alpha R\sin \varphi }}$ bezüglich ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {\pi }{2}}}$ achsensymmetrisch ist. Nach der Jordanschen Ungleichung ist ${\displaystyle \sin(\varphi )\geq {\tfrac {2}{\pi }}\,\varphi }$ für alle ${\displaystyle \varphi \in \left[0,{\tfrac {\pi }{2}}\right]}$ und daher

${\displaystyle |I_{R}|\leq 2R\,\varepsilon _{R}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-\alpha R{\frac {2}{\pi }}\varphi }\,d\varphi ={\frac {\pi \,\varepsilon _{R}}{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha R}\right)\leq {\frac {\pi \,\varepsilon _{R}}{\alpha }}\to 0}$ für ${\displaystyle R\to \infty }$.

Literatur

• E. D. Solomentsev: Jordan Lemma. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).