Kronecker-Symbol

In der Mathematik ist das Kronecker-Symbol eine Verallgemeinerung des Jacobi-Symbols ${\displaystyle \left({\frac {n}{m}}\right)}$ auf beliebige ganzzahlige ${\displaystyle m}$. Es ist nach dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker benannt.

Für ungerade ${\displaystyle m}$ stimmt es mit dem Jacobi-Symbol überein, für ${\displaystyle m=-1}$ und ${\displaystyle m=2}$ sind spezielle Werte definiert, alle anderen Werte ergeben sich durch die Rechenregel.

${\displaystyle \left({\frac {ab}{cd}}\right)=\left({\frac {a}{c}}\right)\left({\frac {b}{c}}\right)\left({\frac {a}{d}}\right)\left({\frac {b}{d}}\right)}$

Für ${\displaystyle m=-1}$ setzt man

${\displaystyle \left({\frac {n}{-1}}\right)=\left\{{\begin{matrix}-1&{\mbox{falls }}n<0\\0&{\mbox{falls }}n=0\\1&{\mbox{falls }}n>0\end{matrix}}\right.}$

und für ${\displaystyle m=2}$ definiert man

${\displaystyle \left({\frac {n}{2}}\right)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{falls }}n\equiv 0{\pmod {2}}\\1&{\mbox{falls }}n\equiv 1,7{\pmod {8}}\\-1&{\mbox{falls }}n\equiv 3,5{\pmod {8}}\end{matrix}}\right.}$

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Kronecker-Symbol. In: MathWorld (englisch).