Kontinuitätssatz von Hartogs

In d​er Funktionentheorie w​ird als Kontinuitätssatz v​on Hartogs e​ine Aussage über d​ie Fortsetzung holomorpher Funktionen i​n sogenannten Hartogsfiguren bezeichnet. Der Kontinuitätssatz stellt e​ine Verallgemeinerung d​es Lemmas v​on Hartogs dar, welches e​ine analoge Aussage über d​ie Fortsetzung i​n Polyzylinder macht.

Hartogsfigur

Zur Formulierung d​es Kontinuitätssatzes m​uss zuerst d​er Begriff d​er Hartogsfigur eingeführt werden.

${\displaystyle P:=\left\{(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\,:\,\left|z_{j}\right|<1,\;j=1,\dots ,n\right\}}$ bezeichne den Einheits-Polyzylinder. ${\displaystyle q_{1},\dots ,q_{n}\in (0,1)}$ seien positive reelle Zahlen zwischen und ${\displaystyle 1}$. Für ${\displaystyle 2\leq k\leq n}$ sei ${\displaystyle D_{k}:=\left\{(z_{1},\dots ,z_{n})\in P\,:\,\left|z_{1}\right|\leq q_{1}{\mbox{ und }}q_{k}\leq \left|z_{k}\right|<1\right\}}$ sowie ${\displaystyle H:=\bigcap _{k=2}^{n}(P\setminus D_{k})}$. Das Paar ${\displaystyle (P,H)}$ heißt euklidische Hartogsfigur.

Eine allgemeine Hartogsfigur i​st das biholomorphe Bild e​iner euklidischen Hartogsfigur.

Kontinuitätssatz

Sei ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} ^{n},\quad n>1}$ eine offene Teilmenge und ${\displaystyle ({\tilde {P}},{\tilde {H}})}$ eine allgemeine Hartogsfigur in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ mit ${\displaystyle {\tilde {H}}\subseteq \Omega }$ sowie ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow \mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Falls ${\displaystyle {\tilde {P}}\cap \Omega }$ zusammenhängend ist, lässt sich ${\displaystyle f}$ auf eindeutige Weise nach ${\displaystyle \Omega \cup {\tilde {P}}}$ fortsetzen.

Literatur

• Hans Grauert, Klaus Fritzsche: Einführung in die Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher. Springer-Verlag, Berlin 1974, ISBN 3-540-06672-1 u. ISBN 0-387-06672-1