Komplementärbasis

Eine Komplementärbasis e​ines Unterraums bezeichnet i​m mathematischen Teilgebiet d​er linearen Algebra e​ine Basis d​es zugehörigen Komplements.

Definition

Es seien ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$ , ${\displaystyle U}$ ein Untervektorraum von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ ein durch die Vektoren ${\displaystyle \mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\in V}$ erzeugter Unterraum. Dann heißt die Menge ${\displaystyle (\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})}$ Komplementärbasis von ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle V}$ , falls sie linear unabhängig ist und ${\displaystyle V=U\oplus W}$ gilt, ${\displaystyle V}$ also die direkte Summe von ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle W}$ ist.

${\displaystyle W}$ ist also ein komplementärer Unterraum von ${\displaystyle U}$ und die Vektoren ${\displaystyle \mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}}$ bilden dazu eine Basis.

Alternative Formulierung

Seien ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ Skalare aus ${\displaystyle K}$ . Dann lässt sich eine Komplementärbasis auch dadurch definieren, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein müssen:

1. Lässt sich ein Element ${\displaystyle u\in U}$ aus der Linearkombination ${\displaystyle a_{1}\cdot \mathbf {w} _{1}+\ ...\ +a_{n}\cdot \mathbf {w} _{n}=u}$ darstellen, so muss folgen, dass ${\displaystyle u=0}$ und alle Koeffizienten ${\displaystyle a_{i}=0}$ (für ${\displaystyle i=1...n}$ ) sind.
2. Erzeugen die Vektoren ${\displaystyle \mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}}$ zusammen mit ${\displaystyle U}$ den Vektorraum ${\displaystyle V}$ .

(Wenn die erste Bedingung erfüllt ist, dann nennt man die Vektoren ${\displaystyle \mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}}$ auch linear unabhängig modulo ${\displaystyle U}$ .)

Eigenschaften

• Sei ${\displaystyle (u_{1},\ldots ,u_{s})}$ eine Basis von ${\displaystyle U}$ . Genau dann ist ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{t})}$ eine Komplementärbasis von ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle V}$ , wenn ${\displaystyle (u_{1},\ldots ,u_{s},v_{1},\ldots ,v_{t})}$ eine Basis von ${\displaystyle V}$ ist.

Es gilt dann ${\displaystyle t=\dim V-\dim U}$ .

• Jede Folge, die linear unabhängig modulo ${\displaystyle U}$ ist, lässt sich zu einer Komplementärbasis von ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle V}$ ergänzen.