Kegelfunktion

Die Kegelfunktionen s​ind spezielle Kugelfunktionen, d​ie von Gustav Ferdinand Mehler 1868 a​ls Lösung d​es Problems d​er Potentialbestimmung v​on auf e​iner Kegelfläche verteilten elektrischen Ladungen eingeführt wurden.

Definition

Die ursprünglich von Mehler eingeführten Funktionen ${\displaystyle K^{\mu }(x)}$ sind durch Kugelfunktionen darstellbar, und zwar zugeordnete Legendrepolynome erster und zweiter Art mit einem speziellen komplexen Index:

${\displaystyle P_{-(1/2)+i\lambda }^{\mu }(x)}$ und ${\displaystyle Q_{-(1/2)+i\lambda }^{\mu }(x)}$.

Dabei ist ${\displaystyle \lambda }$ reell und ${\displaystyle \mu }$ beliebig. Entsprechend werden heute diese beiden speziellen Legendrefunktionen als Kegelfunktionen bezeichnet. Speziell gilt mit ${\displaystyle x=\cos(\theta )}$ und ${\displaystyle \mu =0}$:

${\displaystyle P_{-(1/2)+i\lambda }(\cos \theta )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\theta }{\frac {\cosh(\lambda t)}{\sqrt {2(\cos t-\cos \theta )}}}dt}$

${\displaystyle Q_{-(1/2)\mp i\lambda }(\cos \theta )=\pm i\sinh \lambda \pi \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(\lambda t)}{\sqrt {2(\cosh t+\cos \theta )}}}dt+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cosh(\lambda t)}{\sqrt {2(\cosh t-\cos \theta )}}}dt}$

Literatur

• Abramowitz, Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover 1972, S. 337 (Abschnitt 8.12)
• G. F. Mehler: Über die Vertheilung der statischen Elektricität in einem von zwei Kugelkalotten begrenzten Körper. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 68, 1868, S. 134, Online
• G. F. Mehler: Über eine mit den Kugel- und Cylinderfunctionen verwandte Function und ihre Anwendung in der Theorie der Elektricitätsvertheilung. In: Mathematische Annalen, Band 18, 1881, S. 161, Online
• Carl Gottfried Neumann: Über die Mehler’schen Kegelfunctionen und deren Anwendung auf elektrostatische Probleme. In: Mathematische Annalen, Band 18, 1881, S. 195, Online
• G. Leonhardt: Integraleigenschaften der adjungirten Kegelfunctionen. In: Mathematische Annalen, Band 19, 1882, S. 578, Online

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Conical Function. In: MathWorld (englisch).