Intuitionistische Fuzzymenge

Eine intuitionistische Fuzzymenge, engl. intuitionistic f​uzzy set, i​st eine Verallgemeinerung d​es Begriffes Fuzzymenge u​nd wurde 1986 v​on K. Atanassov eingeführt.[1] Während e​ine Fuzzymenge allein d​urch ihre Zugehörigkeitsfunktion charakterisiert wird, g​ibt es b​ei einer intuitionistischen Fuzzymenge zusätzlich n​och die Nicht-Zugehörigkeitsfunktion.

Definitionen

Sei ${\displaystyle U}$ das sogenannte Universum, d. h. die Grundmenge, auf der die Untersuchungen stattfinden, häufig ist ${\displaystyle U=\mathbb {R} }$ . Eine intuitionistische Fuzzymenge ${\displaystyle A}$ ist charakterisiert durch eine Zugehörigkeitsfunktion ${\displaystyle m_{A}}$ und eine Nicht-Zugehörigkeitsfunktion ${\displaystyle n_{A}}$ . Für diese Funktionen gilt:

${\displaystyle \forall x\in U:\quad 0\leq m_{A}(x)\leq 1,\quad 0\leq n_{A}(x)\leq 1,\quad 1-m_{A}(x)-n_{A}(x)\geq 0}$

Dabei wird ${\displaystyle m_{A}(x)}$ interpretiert als Grad der Akzeptanz, dass ${\displaystyle x}$ zu ${\displaystyle A}$ gehört und ${\displaystyle n_{A}(x)}$ als Grad der Akzeptanz, dass ${\displaystyle x}$ nicht zu ${\displaystyle A}$ gehört. Ist ${\displaystyle 1-m_{A}(x)-n_{A}(x)=0}$ , dann haben wir den Spezialfall einer klassischen Fuzzymenge: Der Grad der Nicht-Zugehörigkeit ergibt sich in diesem Fall als ${\displaystyle n_{A}(x)=1-m_{A}(x)}$ . Ist jedoch ${\displaystyle 1-m_{A}(x)-n_{A}(x)>0}$ , dann steht dieser Wert für den Grad der Unbestimmtheit, d. h. mit diesem Grad kann man nicht entscheiden, ob ${\displaystyle x}$ zu ${\displaystyle A}$ oder nicht zu ${\displaystyle A}$ gehört. Für festes ${\displaystyle x}$ wird das Pärchen ${\displaystyle (m_{A}(x);n_{A}(x))=(m;n)}$ auch intuitionistische Fuzzy-Zahl genannt.

Beispiel

Es wird über eine Resolution abgestimmt. Es gibt 5 Ja-Stimmen, 1 Nein-Stimme und 4 Enthaltungen. Dieses „unscharfe“ Zustimmungsergebnis kann gut ausgedrückt werden durch die intuitionistische Fuzzy-Zahl ${\displaystyle (0{,}5;0{,}1)}$ , wobei ${\displaystyle 0{,}5}$ der Grad der Zustimmung, ${\displaystyle 0{,}1}$ der Grad der Ablehnung und ${\displaystyle 1-0{,}5-0{,}1=0{,}4}$ der Grad der Unbestimmtheit ist.

Weiteres

Für intuitionistische Fuzzy-Zahlen können algebraische Operationen w​ie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division definiert werden. Außerdem können intuitionistische Fuzzy-Funktionen definiert u​nd für d​iese eine Differential- u​nd Integralrechnung begründet werden.[2]

Einzelnachweise

1. Atanassov, K. (1986). Intuitionistic fuzzy sets. Fuzzy Sets and Systems 20, 87–96
2. Lei, Q. und Xu, Z. (2017).Intuitionistic Fuzzy Calculus.Studies in Fuzziness and Soft Computing 353, Springer International Publishing 2017. e-Book ISBN 978-3-319-54148-8