Induktive Menge

Als induktive Mengen werden in der Mathematik Mengen ${\displaystyle M}$ bezeichnet, die die leere Menge ${\displaystyle \emptyset }$ enthalten und wo für jede Menge ${\displaystyle x}$ auch deren Nachfolgemenge ${\displaystyle x'=x\cup \{x\}}$ enthalten ist. Das Unendlichkeitsaxiom besagt, dass es eine induktive Menge gibt.

Definition

Eine Menge ${\displaystyle M}$ ist genau dann eine induktive Menge, wenn sie die zwei folgenden Eigenschaften

• ${\displaystyle \emptyset \in M}$
• ${\displaystyle \forall x\in M:x'\in M}$

erfüllt, wobei ${\displaystyle x':=x\cup \{x\}}$ den Nachfolger von ${\displaystyle x}$ bezeichnet.

Bedeutung in der Mathematik

Natürliche Zahlen

Mit Hilfe d​er induktiven Mengen w​ird in d​er Mengenlehre d​ie Menge d​er natürlichen Zahlen definiert n​ach einer Idee v​on Richard Dedekind:[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {N}$ :=\bigcap \{x\mid x\;{\text{induktiv}}\}.\end{aligned}}}

Da der Schnitt von induktiven Mengen wieder induktiv ist, ist die Menge der natürlichen Zahlen die kleinste induktive Menge. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ besteht also aus den iterierten Nachfolgern der leeren Menge:

${\displaystyle \mathbb {N} =\{\emptyset ,\emptyset ',\emptyset '',\emptyset ''',\ldots \}=\{0,1,2,3,\ldots \}}$

Um d​ie natürlichen Zahlen s​o definieren z​u können, benötigt m​an zwei Axiome: Das Unendlichkeitsaxiom u​nd das Aussonderungsaxiom: Das Unendlichkeitsaxiom stellt sicher, d​ass es mindestens e​ine induktive Menge gibt. Wenn m​an nun jedoch d​en Schnitt über a​lle induktiven Mengen bildet, erhält m​an damit d​ie Klasse d​er natürlichen Zahlen. Das Aussonderungsaxiom stellt sicher, d​ass der Schnitt über Mengen ebenfalls e​ine Menge i​st und d​ass die Klasse d​er Natürlichen Zahlen d​amit auch wirklich e​ine Menge ist.

Innerhalb der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre kann gezeigt werden, dass die so konstruierte Menge ${\displaystyle \mathbb {N} }$ die Peano-Axiome erfüllt. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ fängt also den intuitiven Begriff der natürlichen Zahl mengentheoretisch exakt ein. Statt ${\displaystyle x'}$ und ${\displaystyle \emptyset }$ schreibt man daher wie in der Arithmetik meist ${\displaystyle x+1}$ bzw. ${\displaystyle 0}$.

Mithilfe der Definition über induktive Mengen lässt sich die Beweismethode der vollständigen Induktion rechtfertigen (daher auch der Name induktiv): Soll gezeigt werden, dass alle natürlichen Zahlen eine bestimmte Eigenschaft ${\displaystyle e}$ haben, so betrachte die Menge ${\displaystyle E:=\{n\in \mathbb {N} \mid e(n)\}\subseteq \mathbb {N} }$. Zeigt man nun, dass ${\displaystyle e(0)}$ gilt und aus ${\displaystyle e(n)}$ auch ${\displaystyle e(n+1)}$ folgt, so ist ${\displaystyle E}$ induktiv. Da ${\displaystyle \mathbb {N} }$ kleinste induktive Menge ist, gilt ${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq E}$ und somit ${\displaystyle \mathbb {N} =E}$. Also hat jede natürliche Zahl Eigenschaft ${\displaystyle e}$.

Transfinite Ordinalzahlen

Weitere induktive Mengen sind die transfiniten Ordinalzahlen, beispielsweise ${\displaystyle \omega +\omega =\{0,1,2,\ldots ,n,n+1,\ldots ,\omega ,\omega +1,\omega +2,\ldots \}}$. Hier sind die natürlichen Zahlen als Teilmenge enthalten, jedoch ist ${\displaystyle \omega }$ eine unendliche Ordinalzahl, d. h. größer als jede natürliche Zahl.

Einzelnachweise

1. Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? Vieweg, Braunschweig 1888, § 6, 71.β, reduziert per Definition 44, 37 und 17 in etwas ungewöhnlicher Terminologie mit implizit definierter Nachfolgerzahl. In freier Verbalisierung mit Verweis auf Dedekind übernommen in die Zermelo-Mengenlehre.